有理數與無理數加減乘除後得到有理數還是無理數？

在【有理數與有理數加減乘除後仍為有理數(有理數對四則運算自封、有理數Q是體(field))】一文中，我們論證了有理數對四則運算的自封性；在【無理數與無理數加減乘除後仍會是無理數嗎？】一文中，我們對不同的運算都各別舉出了正、反兩種例子來說明任兩個無理數之間經加減乘除四則運算後有可能是有理數，也可能是無理數。

本文將研究有理數與無理數經四則運算後會得到怎樣的結果。

以下均假定$p$為有理數，$q$為無理數。

(1) 有理數$\pm$無理數$=$無理數

[證]：假定有理數$p+$無理數$q=$有理數$r$，於是可以得到
$$
\text{無理數}q = \text{有理數}r - \text{有理數}p = \text{有理數},
$$
矛盾！

所以有理數$+$無理數$=$無理數。

而減法的情況則是，假定有理數$p - $無理數$q=$有理數$r'$，於是可以得到
$$
\text{無理數}q = \text{有理數}r' - \text{有理數}p = \text{有理數},
$$
矛盾！

所以有理數$-$無理數$=$無理數。

(2) 有理數$\times$無理數未必是無理數

正例：有理數$1 \times$無理數$\sqrt{2}=$無理數$\sqrt{2}$。

反例：有理數$0 \times$無理數$\sqrt{2}=$有理數$0$。

所以，有理數乘以無理數得到的結果可能是無理數，也可能是有理數。

(3) 有理數$\div$無理數未必是無理數

正例：有理數$2 \div$無理數$\sqrt{2} = $無理數$\sqrt{2}$。

反例：有理數$0 \div$無理數$\sqrt{2} = $有理數$0$。

警告：由於除法不具有交換律，所以討論了「有理數$\div$無理數」之外，還必須討論「無理數$\div$有理數」，而這兩種情況有顯著的差異！

(4) 無理數$\div$非零有理數$=$無理數

[證]：假定無理數$q \div$有理數$p =$有理數$r''$[當然我們這裡隱約假定了除數(或是說分母)$p \neq 0$]。於是我們有
\begin{eqnarray*}
\text{無理數}q \div \text{有理數}p = \text{有理數}r'', \\
\frac{\text{無理數}q}{\text{有理數}p} = \text{有理數}r'', \\
\text{無理數}q = \text{有理數}p \times \text{有理數}r'' = \text{有理數},
\end{eqnarray*}
矛盾！
因此無理數$q \div$有理數$p =$無理數。

=歸納=

(1) 有理數$\pm$無理數$=$無理數
(2) 有理數$\times$無理數未必是無理數
(3) 有理數$\div$無理數未必是無理數
(4) 無理數$\div$非零有理數$=$無理數