和的立方公式(二項式定理n=3的情況)、差的立方公式

定理：若$a, b$皆為複數，則

$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.$$

[證一]：直接從左式展開，

$$\begin{eqnarray*} (a+b)^3 &=& (a+b)^2 (a+b) \\ &=& (a^2 + 2ab + b^2) (a+b) \\ &=& a^3 + 2a^2b + ab^2 \\ & & +a^2b +2ab^2 + b^3 \\ &=& a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{eqnarray*}$$

[證二]：組合論證法。因為

$$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b),$$
共有3個括號，每個括號裏頭有2種選擇，選$a$或選$b$，於是可以知道，選擇出來的乘積可能有
$$aaa, aab, abb, bbb$$
這4種可能情況。($aaa$代表3個括號中都選$a$；$aab$代表3個括號中有2個選$a$、1個選$b$，不考慮順序)

那麼我們要問，有多少種製造$aaa$的方式呢？有多少種製造$aab$的方式呢？...

在選擇過程中，我們只要確定要選那些括號來選$a$就行，剩下的括號直接默認要選$b$。

對於$aaa$，共有${3 \choose 3} = 1$種方式。

對於$aab$，共有${3 \choose 2} = 3$種方式。

對於$abb$，共有${3 \choose 1} = 3$種方式。

對於$bbb$，共有${3 \choose 0} = 1$種方式。

因此整個選擇過程結束後，我們可以得到1個$aaa$(即$a^3$)、3個$aab$(即$a^2b$)、3個$abb$(即$ab^2$)、以及1個$bbb$(即$b^3$)。

所以$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$。

(證明結束)

附註：差的立方公式：若$a, b$皆為複數，則

$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.$$

[證]：命$A=a, B=-b$，則$(a-b)^3=[a+(-b)]^3=(A+B)^3$，利用和的立方公式，得

$$\begin{eqnarray*} (a-b)^3 &=& (A+B)^3 \\ &=& A^3 + 3A^2B +3AB^2 + B^3 \\ &=& a^3 +3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 \\ &=& a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \end{eqnarray*}$$

(證明結束)