$\log_{10} 2$不是有理數

=問題=

證明$\log_{10} 2$不是有理數。

[華羅庚《數論導引》第一章$\S 5$習題1]

=解答=

首先，由於$\log_{10} 2 > \log_{10} 1 = 0$，故可知$\log_{10} 2$為正數。

假設$\log_{10} 2 = \text{有理數} \frac{a}{b}$，其中$a, b$皆為正整數，且$\gcd (a, b) = 1$。

於是根據對數的定義，得$2 = 10^{\frac{a}{b}}$。左右同時自乘$b$次，即同時$b$次方，得
\begin{eqnarray*}
2^b = \left( 10^{\frac{a}{b}} \right)^b, \\
2^b = 10^a, \\
2^b = (2 \times 5)^a, \\
2^b = 2^a \times 5^a, \\
2^b \times 5^0 = 2^a \times 5^a.
\end{eqnarray*}
注意$a, b$皆為正整數，所以$2^b, 2^a \times 5^a$皆為正整數。再根據算術基本定理之唯一性比較指數可知
$$
b = a \text{且} 0 = a.
$$
也就是有$a = b = 0$，但此與前提假設矛盾(我們假設$a, b$都是正整數)，所以假設錯誤，即$\log_{10} 2$是無理數。

(證明結束)