證明log102不是有理數。
[華羅庚《數論導引》第一章§5習題1]
=解答=
首先,由於log102>log101=0,故可知log102為正數。
假設log102=有理數ab,其中a,b皆為正整數,且gcd。
於是根據對數的定義,得2 = 10^{\frac{a}{b}}。左右同時自乘b次,即同時b次方,得
\begin{eqnarray*} 2^b = \left( 10^{\frac{a}{b}} \right)^b, \\ 2^b = 10^a, \\ 2^b = (2 \times 5)^a, \\ 2^b = 2^a \times 5^a, \\ 2^b \times 5^0 = 2^a \times 5^a. \end{eqnarray*}
注意a, b皆為正整數,所以2^b, 2^a \times 5^a皆為正整數。再根據算術基本定理之唯一性比較指數可知
b = a \text{且} 0 = a.
也就是有a = b = 0,但此與前提假設矛盾(我們假設a, b都是正整數),所以假設錯誤,即\log_{10} 2是無理數。
(證明結束)
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