證明log102不是有理數。
[華羅庚《數論導引》第一章§5習題1]
=解答=
首先,由於log102>log101=0,故可知log102為正數。
假設log102=有理數ab,其中a,b皆為正整數,且gcd(a,b)=1。
於是根據對數的定義,得2=10ab。左右同時自乘b次,即同時b次方,得
2b=(10ab)b,2b=10a,2b=(2×5)a,2b=2a×5a,2b×50=2a×5a.
注意a,b皆為正整數,所以2b,2a×5a皆為正整數。再根據算術基本定理之唯一性比較指數可知
b=a且0=a.
也就是有a=b=0,但此與前提假設矛盾(我們假設a,b都是正整數),所以假設錯誤,即log102是無理數。
(證明結束)
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