無理數與無理數加減乘除後仍會是無理數嗎？

在【有理數與有理數加減乘除後仍為有理數(有理數對四則運算自封、有理數Q是體(field))】一文中，我們討論了有理數對於加減乘除四則運算是自封的，那我們不禁要問「無理數的情況又如何？」

答案是不一定。

(1) 無理數$\pm$無理數未必是無理數

正例：無理數$\sqrt{2}+$無理數$\sqrt{3}=$無理數。

[證]：採用純粹數論的方法來論證此敘述太麻煩了，我們逕直使用有理根檢驗法就好。

設$x = \sqrt{2}+\sqrt{3}$，則
$$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2}+\sqrt{3}, \\ x-\sqrt{2}=\sqrt{3}, \\ \left( x-\sqrt{2} \right)^2=\sqrt{3}^2, \\ x^2-2\sqrt{2}x+2=3, \\ x^2-1=2\sqrt{2}x, \\ \left( x^2-1 \right)^2=\left( 2\sqrt{2}x \right)^2, \\ x^4-2x^2+1=8x^2, \\ x^4-10x^2+1=0. \end{eqnarray*}$$
命$f(x)=x^4-10x^2+1$。若有理數$\frac{p}{q}$[此地假定$\gcd (p, q)=1, q>0$]是多項式方程式$f(x)=0$的根，那麼必有$q|1, p|1$。如此，有理根僅可能為$\frac{1}{1}$或$\frac{-1}{1}$，亦即$\pm 1$。但$\sqrt{2}+\sqrt{3}$是多項式方程式$f(x)=0$的實根，而顯然$\sqrt{2}+\sqrt{3}$不會是有理根，於是可推知$\sqrt{2}+\sqrt{3}$必為多項式方程式$f(x)=0$的無理根，換言之，$\sqrt{2}+\sqrt{3}$根本就是無理數。

(證明結束)

反例：無理數$\sqrt{2}+$無理數$(-\sqrt{2})=$有理數$0$。

綜上所述，無理數加減無理數的結果可能是無理數，也可能是有理數。

(2) 無理數$\times$無理數未必是無理數

正例：無理數$\sqrt{2} \times$無理數$\sqrt{3}=$無理數$\sqrt{6}$。

[證]：這裡其實沒什麼好證明的，只是要說明一下$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}$這三個數的無理性。

命$f_1(x) = x^2-2, f_2(x) = x^2-3, f_3(x)=x^2-6$，利用有理根檢驗法就可以輕易得知$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}$這三個數都是無理數。

(證明結束)

反例：無理數$\sqrt{2} \times$無理數$\sqrt{2}=$有理數$2$。

綜上所述，無理數乘以無理數的結果可能是無理數，也可能是有理數。

(3) 無理數$\div$無理數未必是無理數

正例：無理數$\sqrt{3}\div$無理數$\sqrt{2}=$無理數$\sqrt{\frac{3}{2}}$。

[證]：此地只說明$\sqrt{\frac{3}{2}}$的無理性。

命$x=\sqrt{\frac{3}{2}}$，於是
$$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{\frac{3}{2}}, \\ x^2=\frac{3}{2}, \\ 2x^2-3=0. \end{eqnarray*}$$
命多項式$f(x)=2x^2-3$，利用有理根檢驗法即知$\sqrt{\frac{3}{2}}$為無理數。

(證明結束)

反例：無理數$\sqrt{2}\div$無理數$\sqrt{2}=$有理數$1$。

綜上所述，無理數除以無理數的結果可能是無理數，也可能是有理數。

我們可以把以上幾條結論歸結為：無理數對加減乘除四則運算不自封。

更多關於無理數的討論，參見G. H. Hardy與E. M. Wright合著的"An Introduction to the Theory of Numbers"，第4章。I. Niven的"Numbers: Rational and Irrational"也是很好的讀物。