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2017年7月7日 星期五

三元算幾不等式的代數證明

定理:若x,y,z皆為非負實數,則恆有
x+y+z33xyz.

[證]:令3x=a,3y=b,3z=c,則x=a3,y=b3,z=c3。考慮x+y+z33xyz,利用「三元三次輪換式」,則
x+y+z33xyz=13(x+y+z33xyz)=13(3x3+3y3+3z333x3y3z)=13(a3+b3+c33abc)=13(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)=13(a+b+c)12(2a2+2b2+2c22ab2bc2ca)=16(a+b+c)[(a22ab+b2)+(b22bc+c2)+(c22ca+a2)]=16(a+b+c)[(ab)2+(bc)2+(ca)2]0
x+y+z33xyz0,即x+y+z33xyz
(證明結束)


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