x+y+z3≥3√xyz.
[證]:令3√x=a,3√y=b,3√z=c,則x=a3,y=b3,z=c3。考慮x+y+z3−3√xyz,利用「三元三次輪換式」,則
x+y+z3−3√xyz=13(x+y+z−33√xyz)=13(3√x3+3√y3+3√z3−33√x3√y3√z)=13(a3+b3+c3−3abc)=13(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=13(a+b+c)12(2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca)=16(a+b+c)[(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)+(c2−2ca+a2)]=16(a+b+c)[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2]≥0
得x+y+z3−3√xyz≥0,即x+y+z3≥3√xyz。
(證明結束)
謝謝!!
回覆刪除這樣清楚多了