無理數,所謂不能化為分數的數,相當的難以捉摸。
以前我們曾在【無理數與無理數加減乘除後仍會是無理數嗎?】與【有理數與無理數加減乘除後得到有理數還是無理數?】兩篇文章中探討過無理數對四則運算是否具有封閉性。
但我們不曾對乘冪運算有所探究。
本文要回答一個問題。
==問題==
若α,β皆為無理數,則αβ也是無理數嗎?
==解答==
底是無理數,次方又是無理數,看起來結果一定是無理,對吧?
未必!
考慮α1=√2,β1=√2,則可得數αβ11=√2√2。
關於數√2√2,我不知道它到底是無理數還是有理數。
如果√2√2是有理數,那麼我們得到無理數無理數=有理數的一個例子。
如果√2√2是無理數,那麼我們令α2=√2√2,β2=√2,於是
αβ22=(√2√2)√2=√2√2×√2=√22=2.
再次得到無理數無理數=有理數。
所以無論本來√2√2是有理數還是無理數,我們都能憑藉這個數去得到無理數無理數=有理數的例子。
==參考資料==
Kenneth Binmore, Foundations of Analysis: Book 1: Logic, Sets and Numbers. Cambridge University Press. 1980. Example 3.15
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