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2017年7月25日 星期二

無理數的無理數次方仍是無理數嗎?

無理數,所謂不能化為分數的數,相當的難以捉摸。

以前我們曾在【無理數與無理數加減乘除後仍會是無理數嗎?】與【有理數與無理數加減乘除後得到有理數還是無理數?】兩篇文章中探討過無理數對四則運算是否具有封閉性。

但我們不曾對乘冪運算有所探究。

本文要回答一個問題。

==問題==
α,β皆為無理數,則αβ也是無理數嗎?

==解答==
底是無理數,次方又是無理數,看起來結果一定是無理,對吧?

未必!

考慮α1=2,β1=2,則可得數αβ11=22

關於數22,我不知道它到底是無理數還是有理數。

如果22是有理數,那麼我們得到無理數無理數=有理數的一個例子。

如果22是無理數,那麼我們令α2=22,β2=2,於是
αβ22=(22)2=22×2=22=2.
再次得到無理數無理數=有理數

所以無論本來22是有理數還是無理數,我們都能憑藉這個數去得到無理數無理數=有理數的例子。

==參考資料==
Kenneth Binmore, Foundations of Analysis: Book 1: Logic, Sets and Numbers. Cambridge University Press. 1980. Example 3.15

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