費曼如何心算28的平方(的近似值)

費曼在其著作"Surely You're Joking, Mr. Feynman!: Adventures of a Curious Character"(中譯本：別鬧了，費曼先生: 科學頑童的故事)中談過他如何計算(心算)28的平方：

從此以後，我也試著這樣做。我背熟了幾個數字的對數值，也開始注意很多事情。比方有人說：「28的平方是多少？」那麼注意2的平方根是1.4，而28是1.4的20倍，因此28的平方一定接近400的兩倍，即800上下。

讓我們用數學式把這段過程表達得更清楚：
\begin{eqnarray*} && \sqrt{2} \approx 1.414 \\ &\Rightarrow& 28 = 20 \times 1.4 \approx \color{red}{\bf 20 \times \sqrt{2}} \\ &\Rightarrow& 28^2 \approx (\color{red}{\bf 20 \times \sqrt{2}})^2 = 20^2 \times \sqrt{2}^2 = 400 \times 2 = 800. \end{eqnarray*} 換句話說，整個心算過程的秘訣在於用$20 \sqrt{2}$去代替28，其中的20平方與$\sqrt{2}$平方都相當容易計算。

我們按按計算機，看看費曼先生的答案與實際值差多少：
\begin{eqnarray*}  \text{費曼}&:& 28^2 \approx 800 \\ \text{計算機}&:& 28^2 = 784. \end{eqnarray*} 雖不中，亦不遠矣！

兩個習題供讀者思考：

1. 為何費曼的近似值比真確值大？
2. 用費曼的方法計算$45^2$。(提示：試試$\sqrt{5} \approx 2.236$。這個估計會得出盈近似值還是虧近似值？)

只用中點公式、不用分點公式，推導重心座標公式

眾所皆知，在座標平面上給定相異兩點$A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2)$，設$\overline{AB}$之中點為M，則容易知道中點M的座標為$\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$，此稱為「中點公式」。若以更簡單的方式書寫，可記為
$$M = \frac{A + B}{2}.$$ 口訣為「兩點相加除以二」。

一般地，同樣給定相異兩點$A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2)$，再設$\overline{AB}$上有一點P滿足$\overline{AP}: \overline{PB} = m: n$，於是我們可以求出P點的座標為
$$P = \left( \frac{nx_1 + mx_2}{m + n}, \frac{ny_1 + my_2}{m + n} \right).$$ 此稱為「分點公式」。記憶的方式很多，最簡單的方法之一是與物理的力矩概念相結合。

然而我們(數學老師)終究得承認，分點公式對於大部分的高中生來說，其實真的很難記，特別是比例常數交叉，在多數人頭腦裡，根本無法想像。在某些特殊情況，學生光是能記熟中點公式(相加除以二)，我們可能就會阿彌陀佛、額手稱慶。

(阿彌陀佛姊支援！)

現在進入正題。

給定座標平面上不共線三點$A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2), C = (x_3, y_3)$，命$\triangle ABC$的重心為G，則G的座標為
$$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right).$$ 若以更簡單的方式書寫，可記為
$$G = \frac{A + B + C}{3}.$$ 口訣為「三點相加除以三」。

證明不難，不過幾乎所有教學都用了分點公式。譬如我的朋友許淵智老師的影片。

一個問題：可不可以不要用分點公式？

我在昨天教廖阿嫆的時候，突然想出了一個方法，這裡野人獻曝，請大家參考批評。

取$\overline{BC}$的中點D，於是由中點公式有$D = \frac{B + C}{2}$。

由國中幾何知識有$\overline{AG}: \overline{GD} = 2: 1$。我們取$\overline{AG}$的中點H，一樣由中點公式有$H = \frac{A + G}{2}$。

注意到此時重心G會是$\overline{HD}$的中點，所以由中點公式有$G = \frac{H + D}{2}$。

將前面推導的式子$D = \frac{B + C}{2}$與$H = \frac{A + G}{2}$代入方才推出的式子$G = \frac{H + D}{2}$，我們得到
\begin{eqnarray*}  && G =  \frac{\frac{A + G}{2} + \frac{B+ C}{2}}{2} \\ &\Rightarrow& 2G = \frac{A + G + B + C}{2} \\ &\Rightarrow& 4G = A + G + B + C \\ &\Rightarrow& 3G = A + B + C \\ &\Rightarrow& G = \frac{A + B + C}{3}. \end{eqnarray*}

(證明終了)

雕蟲小技，不足掛齒，我想我應該不是第一個想到的。但Google搜尋「重心座標公式推導」的結果的前幾頁都沒看到這樣的作法，所以應該還是值得寫一篇短文與大家分享。

《李家同為台灣加油打氣》閱讀心得

==基本資料==

書名：李家同為台灣加油打氣

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作者：李家同

出版社：五南

我收藏的《李家同為台灣加油打氣》

==書摘(部分)==

p.19 如果我們看世界上經濟好的國家都有一個共同特色，那就是他們的工業是相當不錯的。

p.23 我們不該奢談所謂的高科技，要有任何高級工業產品，就必須要先有最基本的工業技術。

p.26 我們很少看到瑞士的公司是從大規模生產的，他們的共同特色只有一個，擁有非常高級的關鍵性技術。

p.26 我們一定要對自己的國家有信心。

p.27 如果真的要擔心，那就是朝野對工業沒有真正的關心，有沒有好的策略？

p.28 說實話，我們的確要憂心，我們的年輕人對工業技術的興趣並不是很大。

p.29 唯有下苦功，做往下扎根的事，才能使我們的工業技術往上提升。

p.30 我們應該鼓勵工業界生產工業性的產品，而不必過分重視消費型產品。

p.31 我們不必害怕任何國家對我們的威脅，我們應該以瑞士為我們的榜樣。

==心得==

李教授這本書是他在臉書以及精密工業學會的連載專欄所撰寫的文章的集子，書中介紹了相當多台灣的工業技術，如他本行的積體電路(IC)、化工的混合分散技術、天線、示波器、CPU、無縫焊接、導電粒子、銀膠等等，以相當直白的文字娓娓道來，簡要介紹了各類技術的原理。

在閱讀此書前，我對於台灣工業的印象，侷限於半導體產業以及工具機，但也只有個大略印象。但看完李教授此書後，深深感到視野大開，原來我們台灣擁有那麼多相當不錯的技術，同時對於各類技術之巧妙感到相當佩服。譬如在第17單元中談到台灣也有類似ARM的公司，專門開發處理器智財，這是我前所未聞的。又例如第27單元的線切割機，原來裏頭需要相當多高級的精密零件，譬如每秒切換十萬次的開關，那樣精密的控制器，想不到台灣已經可以掌握了。

本書的文字相當質樸，不時用比喻來討論各類技術原理，對於我這樣的工科門外漢，相當容易入門，所以我想非常適合推薦給高中生閱讀，做為工業技術科普，同時還可以了解未來報考大學的系所學習目標。該書肯定是李教授自己完成的，因為對於某些特別困難的技術原理，李教授直言自己並非專業人士，只能概略介紹，而無法仔細說明。這樣的態度，非常的扎實，不吹噓，直白地說出侷限所在。

在每一單元的結尾，李教授都苦口婆心地呼籲大家要沉住氣、靜下心來搞研發，目標要放的高遠，不要依賴外國技術，要對自己有信心，肯定可以站上技術制高點。除此之外，李教授還希望國人與政府都要鼓勵我國的工程師，並且有更多年輕人願意投身這些「十年磨一劍」的大目標，不要追逐那些時髦卻不長久的玩意兒。我想這確實是我們現在社會所欠缺的，大家都太浮躁了。

最近的108課綱，讓很多年輕學子都很焦慮。李教授不斷的發文強調基本功的重要性，然而在新課綱改革派的面前，似乎是螳臂當車，總是被那些自詡進步者譏貶為頑固保守，似乎只要每個學生都搞搞AI、寫寫Python就可以成為國家人才。稍微有一點知識的人都知道，一個國家的產業顯然不可以全部投注於單一面向上，我們該著眼的是能不能在高階產業的各面向培養出基礎功扎實的人才。李教授不是台灣本土人，然而他對台灣這片土地的熱愛，我想遠勝於那些高喊愛台灣的投機分子。說他沽名釣譽，那我們反問：那些這樣譏諷他的人，多少是身體力行在幹實業的呢？我想答案不言而喻。

配方、Lagrange恆等式與Cauchy不等式

==主旨==

利用配方證明Lagrange恆等式，然後導出Cauchy不等式。

==題目==

1. 直接展開後，合併並配方，證明Lagrange恆等式：
   $$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 = (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2.$$
2. 證明n變數的Lagrange恆等式並找出書寫規律：
   \begin{eqnarray*}&&(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2) (b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \\ &=& (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 + (a_1 b_3 - a_3 b_1)^2 + \cdots + (a_n b_{n-1} - a_{n - 1} b_n)^2.\end{eqnarray*}
3. 證明Cauchy不等式：
   $$\sqrt{a_1^2 + \cdots + a_n^2} \sqrt{b_1^2 + \cdots + b_n^2} \ge |a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n|.$$
4. 求出Cauchy不等式等號成立的充要條件：
   (i) 若Cauchy不等式等號成立，則？
   (ii) 在怎樣的條件下，Cauchy不等式等號會成立？
5. 設$p, q$皆為實數，取$a_1 = p, a_2 = q, b_1 = q, b_2 = p$，使用Cauchy不等式推導出2元算幾不等式：
   $$\frac{\text{非負實數}s + \text{非負實數}t}{2} \ge \sqrt{\text{非負實數}s \times \text{非負實數}t}.$$
   並求出算幾不等式等號成立的充要條件。

無限循環小數的總和

==主旨==

1. 觀察各位值數字的排列，得出所有排列數字的總和。
2. 引導學生推出「無限循環小數化為分數的公式」

==題目==

1. 若a, b分別代表不同的數字，請問由a, b所構成之各位相異的二位數有多少種？
2. 若a, b, c分別代表不同的數字，請問由a, b, c所構成之各位相異的三位數有多少種？
3. 若a, b, c, d, e分別代表不同的數字，請問由a, b, c, d, e所構成之各位相異的五位數有多少種？
4. 小學學過的定位板告訴我們每個整數的十進表示是由哪些數所構成：
   $$a_n a_{n - 1} \cdots a_2 a_1 = a_n \times 10^{n - 1} + a_{n - 1} \times 10^{n - 2} + \cdots + a_2 \times 10^1 + a_1 \times 10^0.$$
   請將五位數$abcde$表示為以上的形式。
5. 在上一小題中，
   (i) 有多少個五位數含有$a \times 10^4$？
   (ii) 有多少個五位數含有$a \times 10^3$？
   (iii) 有多少個五位數含有$a \times 10^2$？
   (iv) 有多少個五位數含有$a \times 10^1$？
   (v) 有多少個五位數含有$a \times 10^0$？
6. 若a, b分別代表不同的數字，請問無限循環小數
   $$0.ababab\cdots$$
   化為分數後為何？請以數字及a, b表示。
7. 若a, b, c分別代表不同的數字，請問無限循環小數
   $$0.abcabcabc\cdots$$
   化為分數後為何？請以數字及a, b, c表示。
8. 若a, b c, d, e分別代表不同的數字，請問無限循環小數
   $$0.abcdeabcdeabcde\cdots$$
   化為分數後為何？請以數字及a, b c, d, e表示。
9. 數字全用，但不重複，由1, 3, 5, 7, 9這五個數字所構成的純循環小數（形如$0.\overline{13579}, 0.\overline{53971}$等），共有多少個？總和是多少？
   [提示：欲計算總和，請先化為分數後再計算比較容易。]

充分條件與必要條件，不等式的解集合，1990中國高考數學全國卷

==主旨==

這份習題的目標是藉由圖解不等式來認識「充分條件」與「必要條件」的定義。

==導引==

定義 考慮兩敘述A, B，若可由敘述A推導出敘述B，也就是$A \Rightarrow B$，則
(i) 稱敘述A為敘述B的充分條件(sufficient condition)。
(ii) 稱敘述B為敘述A的必要條件(necessary condition)。

例子 敘述A：「碧曲是正妹。」；敘述B：「碧曲是人類。」

如果敘述A正確，也就是我們已經知道碧曲確實是正妹，那麼碧曲一定是人類，亦即敘述B是正確的。因此我們可以從敘述A推導出敘述B。

套用以上對於「充分條件」與「必要條件」的定義，我們會說：
(i) 「碧曲是人類」為「碧曲是正妹」的必要條件；
(ii) 「碧曲是正妹」為「碧曲是人類」的充分條件；

注意 但是如果把兩個敘述的位置對調反過來，那麼推理的鍊條未必串的起來。這就是說，就算敘述B是正確的，我們知道「碧曲是人類」，可是我們卻無法由此推論出「碧曲是正妹」，不能確定敘述A正確與否。

定義 考慮兩敘述A, B，若可由敘述A推導出敘述B，同時也可由敘述B推導出敘述A，亦即有$A \Leftrightarrow B$，那麼兩條件互稱為彼此的充要條件(sufficient and necessary condition)。

復向東，見一商港，然商販皆金髮碧眼，料是海外來朝之英吉利商販集散所在，舶來異寶眾多，正目眩神迷間，琴聲價響，佇聽之，或如山壑雅秀，或如水潭靜謐，時悠遠輕揚，復而厚實凝重，令人神馳，急尋琴聲來處，見一英吉利女子正自奏藝販琴，當下文思泉湧，兼有結識之意，於是突出人群，吟詩唱和：「商娥扶碧曲，秀謐悠而厚...」詩未竟，曲驟斷，但見英女神色驚訝，連聲曰諾，正暗喜間，卻見數名英商巡官怒目而來倒拖吾身，飽以老拳。嗟乎，奈何蠻夷終究不識詩詞曲賦之美...。

==題目，第1組，中國1990高考數學全國卷文史類組==

1. 圖解不等式：$0 < x < 5$。
2. 解不等式：$| x - 2| < 3$，並圖解之。
3. 若將第1題的圖形稱為甲，將第2題的圖形稱為乙，請問甲乙兩者的包含關係為何？是甲包含乙，還是乙包含甲，還是沒有包含關係？
   請注意這裡所謂的「包含在...之中」是指完全包含。若只有一部份重疊就不算包含了。
4. 如果某點在圖形甲之中，那麼該點一定會在圖形乙之中嗎？如果不會，那麼是哪些點不聽話呢？
5. 如果某點在圖形乙之中，那麼該點一定會在圖形甲之中嗎？如果不會，那麼是哪些點不聽話呢？
6. [原題] 設命題甲為：$0 < x < 5$；命題乙為：$| x - 2| < 3$。那麼
   (A) 甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件。
   (B) 甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件。
   (C) 甲是乙的充要條件。
   (D) 甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件。

==題目，第2組，中國1990高考數學全國卷理工農醫類組==

1. 取定正數h，在座標平面上畫出不等式$| x - y| < 2h$的解區域。
2. 同樣的正數h，在座標平面上畫出聯立不等式$\left\{ \begin{array}{l} | x - 1| < h \\ | y - 1| < h \end{array} \right.$的解區域。（請注意聯立不等式意味著兩條式子的條件要同時滿足！）
3. 若將第1題的圖形稱為甲，將第2題的圖形稱為乙，請問甲乙兩者的包含關係為何？是甲包含乙，還是乙包含甲，還是沒有包含關係？
   請注意這裡所謂的「包含在...之中」是指完全包含。若只有一部份重疊就不算包含了。
4. 如果某點在圖形甲之中，那麼該點一定會在圖形乙之中嗎？如果不會，那麼是哪些點不聽話呢？
5. 如果某點在圖形乙之中，那麼該點一定會在圖形甲之中嗎？如果不會，那麼是哪些點不聽話呢？
6. [原題] 已知$h > 0$。設命題甲為：兩個實數x, y滿足$| x - y| < 2h$；命題乙為：兩個實數x, y滿足$| x - 1| < h$且$| y - 1| < h$。那麼
   (A) 甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件。
   (B) 甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件。
   (C) 甲是乙的充要條件。
   (D) 甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件。

1 The positive integer

==自然數/正整數==

正整數(Positive integer)：1, 2, 3, ...。也稱為自然數(Natural number)。

==基本運算：加法、乘法==

$\forall a, b \in \mathbb{N}$，可計算它們的和(sum) $a + b$與積(product) $ab$。

加法封閉性：正整數$+$正整數$=$正整數。

乘法封閉性：正整數$\times$正整數$=$正整數。

==運算律==

交換律(commutative law)：

加法：$a + b = b + a$。

乘法：$ab = ba$。

結合律(associative law)

加法：$a + (b + c) = (a + b) + c$。

乘法：$a(bc) = (ab)c$。

分配律(distribution law)

$a(b + c) = ab + ac$。

==例子==

證明：$7(3 \cdot 6) = 6 (3 \cdot 7)$。

[解].
\begin{eqnarray*}
7(3 \cdot 6) &=& (7 \cdot 3) 6 \quad [\text{乘法結合律}] \\
&=& 6 (7 \cdot 3) \quad [\text{乘法交換律}] \\
&=& 6 (3 \cdot 7) \quad [\text{乘法交換律}]
\end{eqnarray*}

(解答結束)

證明：$a(b + c) = ca + ab$。

[解].
\begin{eqnarray*}
a(b + c) &=& ab + ac \quad [\text{分配律}] \\
&=& ac + ab \quad [\text{加法交換律}] \\
&=& ca + ab \quad [\text{乘法交換律}]
\end{eqnarray*}

(解答結束)

==不具備一般運算律的例子==

定義$a \oplus b = 2a, a \odot b = 2ab$。

$a \oplus b = 2a$，而$b \oplus a = 2b$，所以$a \oplus b \ne b \oplus a$，不滿足加法交換律。

$a \odot b = 2ab$，而$b \odot a = 2ba = 2ab$，有$a \odot b = b \odot a$，滿足乘法交換律。

$a \oplus (b \oplus c) = a \oplus 2b = 2a$，而$(a \oplus b) \oplus c = 2a \oplus c = 2(2a) = 4a$，所以$a \oplus (b \oplus c) \ne (a \oplus b) \oplus c$，不滿足加法結合律。

$a \odot (b \odot c) = a \odot 2bc = 2a(2bc) = 4abc$，而$(a \odot b) \odot c = 2ab \odot c = 2(2ab)c = 4abc$，有$a \odot (b \odot c) = (a \odot b) \odot c$，滿足乘法結合律。

$a \odot (b \oplus c) = a \odot 2b = 2a(2b) = 4ab$，而$a \odot b \oplus a \odot c = 2ab \oplus 2ac = 2(2ab) = 4ab$，有$a \odot (b \oplus c) = a \odot b \oplus a \odot c$，滿足分配律。