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2022年5月31日 星期二

用矩陣方法處理橢圓旋轉後的方程式

目錄

1  矩陣的轉置
2  矩陣轉置的乘法
3  內積運算用矩陣乘法表達
4  橢圓的標準式
5  旋轉矩陣及其逆
6  旋轉橢圓的方程式

1  矩陣的轉置

        考慮域K 上的m×n矩陣A:

A=[a11a1nam1amn].

其轉置AT是域K 上的n×m矩陣:

AT=[a11am1a1namn].

若命AT=B,於是有

bij=aji,(1in,1jm.)

其中bij意味著矩陣B中的(i,j)位置元素,而aji是矩陣A中的(j,i)位置元素。

例1

[123456]T=[142536].

(例題終了)

2  矩陣轉置的乘法

定理1在域K上,設Am×n矩陣、Bn×k矩陣,於是有(AB)T=BTAT

[]. 命AB=C,(AB)T=D,BT=E,AT=F,於是

dij=cji=Ar(j)Bc(i)=ns=1ajsbsi=ns=1fsjeis=ns=1eisfsj=Er(i)Fc(j).

其中Ar(i)=[ai1ain]Bc(j)=[b1jbnj],餘類推。

(證明終了)

例2:取

A=[123456],B=[101].

於是

AT=[142536],BT=[101],

然後

AB=[123456][101]=[22]

因此

(AB)T=[22]T=[22].

BTAT=[101][142536]=[22]

所以有

(AB)T=BTAT.

(例題終了)

3  內積運算用矩陣乘法表達

        考慮域K上的n維內積空間Kn,對於其中任意兩個向量vw

v=[v1vn],w=[w1wn],

定義其內積(inner product)為

vw=v1w1++vnwn.

如果我們將域K視作1×1矩陣空間,於是有

vw=[v1w1++vnwn]=[v1vn][w1wn]=vTw.

定理2對於域K上的n維內積空間Kn中的任意兩個向量vw,有

vw=vTw.

4  橢圓標準式的矩陣表述

        在R2中,二元二次方程式

x2a2+y2b2=1

稱為「中心在原點的橢圓的標準式」。更精細地說,用方程式x2a2+y2b2=1定義之橢圓Γ的集合描述為

Γ={P=(x,y)R2x2a2+y2b2=1}.

現在,我們重新改寫橢圓標準式,改用矩陣語言來表示:

x2a2+y2b2=xxa2+yyb2=[xy][xa2yb2]=[xy][1a2001b2][xy]=[xy]T[1a2001b2][xy].

OP=[xy]=vD=[1a2001b2],便可將橢圓標準式寫為

vTDv=1.

(其中矩陣取名為D之理由為該矩陣是對角矩陣,diagonal matrix)於是橢圓Γ的集合描述可改寫為

Γ={vR2vTDv=1,D=[1a2001b2]}.

例3:橢圓x24+y29=1的矩陣方程式為

[xy][140019][xy]=1.

(例題終了)

例4:橢圓3x2+7y2=1的矩陣方程式為

[xy][3007][xy]=1.

(例題終了)

5  旋轉矩陣及其逆

        在R2上,以原點O為旋轉中心,將向量v循逆時針方向旋轉角度θ的變換矩陣為

Rθ=[cosθsinθsinθcosθ].

而此變換的逆的幾何意義就是將向量v循逆時針方向旋轉角度θ,因此可得到

R1θ=Rθ=[cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)]=[cosθsinθsinθcosθ].

再根據轉置的定義,可發現其實[cosθsinθsinθcosθ]=[cosθsinθsinθcosθ]T,亦即有

R1θ={RθRTθ.

所以在計算旋轉矩陣的逆的時候,不需要引用逆矩陣公式,直接取其轉置即可。

例5R30=[cos30sin30sin30cos30]=[32121232],於是R130=RT30=[32121232]T=[32121232]

(例題終了)

6  旋轉橢圓的方程式

        現在考慮橢圓

Γ={(x,y)R2x2a2+y2b2=1},

其矩陣方程式為vTDv=1v=[xy]D=[1a2001b2]。然後以原點O為中心,逆時針方向旋轉角度θ,命所得到的新橢圓為Γ,於是對於任意(x,y)Γ,必有

(Rθv)TD(Rθv)=1.

然後開始化簡左式,

(Rθv)TD(Rθv)=vT(Rθ)TDR1θv=vT(RTθ)TDR1θv=vTRθDR1θv.

因此Γ上的點必滿足方程式

vTRθDR1θv=1.

        但請注意,我們現在只是證明Γ上的點會滿足此方程式,但不表示滿足此方程式的所有點所構成的集合就是Γ。例如以原點O為圓心、半徑為1,座落於第一、二象限的上半圓,其上每個點的坐標都滿足方程式x2+y2=1,但方程式x2+y2=1所代表的圖形卻是整個圓!

        取方程式vTRθDR1θv=1的任一解v=[xy],命w=Rθv,於是

wTDw=(Rθv)TD(Rθv)=vT(Rθ)TDRθv=vT(RTθ)TDR1θv=vTRθDR1θv=1.

這意味著w=Rθv滿足方程式vTDv=1,也就是說w向量的終點在橢圓Γ上,而wvRθ變換而來,所以v必可由wRθ變換而得,從而可確定v的終點在橢圓Γ上。亦即方程式vTRθDR1θv=1的任一解的終點都會是橢圓Γ上的一點。

        因此我們就能完整確定方程式vTRθDR1θv=1代表旋轉後的新橢圓!

定理3:橢圓Γ:vTDv以原點O為旋轉中心、逆時針旋轉角度θ後的新橢圓的方程式為Γ:vTRDR1v

例6:橢圓x24+y29=1以原點O為中心、旋轉30後,新橢圓的方程式為何?

[] 取v=[xy]D=[140019]R=[cos30sin30sin30cos30]=[32121232],於是

RDR1=[32121232][140019][32121232]=[31144531445314421144].

所以新橢圓方程式為

[xy][31144531445314421144][xy]=1.

展開得

31144x2+103144xy+21144y2=1.

(例題終了)

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