107指考數甲的複數問題

==問題== 

設$O$為複數平面上的原點，並令點$A, B$分別代表複數$z_1, z_2$，且滿足$|z_1| = 2, |z_2| = 3, |z_2 - z_1| = \sqrt{5}$。若$\frac{z_2}{z_1} = a+bi$，其中$a, b$為實數，$i = \sqrt{-1}$。試選出正確的選項。

(1)  $\cos \angle AOB = \frac{2}{3}$

(2)  $|z_2 + z_1| = \sqrt{23}$

(3)  $a > 0$

(4)  $b > 0$

(5)  設點$C$代表$\frac{z_2}{z_1}$，則$\angle BOC$可能等於$\frac{\pi}{2}$

[107，指考，數甲]

==答案==

(1), (3), (5)

==解答==

        由$|z_1| = 2$可假設$z_1 = 2(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$。

        由$|z_2| = 3$可假設$z_2 = 3(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$。

        於是

$$z_2 - z_2 = (3 \cos \theta_2 - 2 \cos \theta_1) + i (3 \sin \theta_2 - 2 \sin \theta_1).$$

由$|z_2 - z_1| = \sqrt{5}$得

$$\sqrt{(3 \cos \theta_2 - 2 \cos \theta_1)^2 + (3 \sin \theta_2 - 2 \sin \theta_1)^2} = \sqrt{5}.$$

左右平方得

$$(3 \cos \theta_2 - 2 \cos \theta_1)^2 + (3 \sin \theta_2 - 2 \sin \theta_1)^2 = 5.$$

對左式展開得

$$9 \cos^2 \theta_2 - 12 \cos \theta_2 \cos \theta_1 + 4 \cos^2 \theta_1 + 9 \sin^2 \theta_2 - 12 \sin \theta_2 \sin \theta_1 + 4 \sin^2 \theta_1 = 5.$$

整理為

$$9(\cos^2 \theta_2 + \sin^2 \theta) -12 (\cos \theta_2 \cos \theta_1 + \sin \theta_2 \sin \theta_1) + 4(\cos^2 \theta_1 + \sin^2 \theta_1) = 5,$$

$$9 - 12 \cos (\theta_2 - \theta_1) + 4 = 5,$$

就得到

$$\cos (\theta_2 - \theta_1) = \frac{2}{3}.$$

由平方恆等式$\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1$有

$$\sin (\theta_2 - \theta_1) = \pm \sqrt{1 - \left( \frac{2}{3} \right)^2} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}.$$

由$\frac{z_2}{z_1} = a+bi$得

$$\frac{3(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)}{2(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)} = a+bi.$$

利用複數極式的除法關係得

$$\frac{3}{2}\left[ \cos (\theta_2 - \theta_1) + i \sin (\theta_2 - \theta_1) \right] = a + bi.$$

因此

$$a = \frac{3}{2} \cos (\theta_2 - \theta_1) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1,$$

$$b = \frac{3}{2} \sin (\theta_2 - \theta_1) = \frac{3}{2} \cdot \left( \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \right) = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}.$$

        下面開始討論每一個選項。

        (1) 正確。

由$z_2 = z_1 \cdot \frac{z_2}{z_1} = z_1 \cdot \left( 1 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}i \right) = z_1 \cdot \frac{3}{2} \left( \frac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \right)$可知點$B$是由點$A$以原點$O$為旋轉中心、逆/順時針旋轉$\arccos \frac{2}{3}$後，再伸縮$\frac{3}{2}$倍而得。注意此時點$B$的位置有2種可能。無論如何，必有$\cos \angle AOB = \frac{2}{3}$。

        (2) 錯誤。

因為

$$\begin{align*} |z_2 + z_1|&= \left| 3(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) + 2(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \right| \\ &= \left|  (3 \cos \theta_2 + 2 \cos \theta_1) + i (3 \sin \theta_2 + 2 \sin \theta_1) \right|  \\ &= \sqrt{(3 \cos \theta_2 + 2 \cos \theta_1)^2 + (3 \sin \theta_2 + 2 \sin \theta_1)^2} \\ &= \sqrt{9 + 12 \cos (\theta_2 - \theta_1) + 4} \\ &= \sqrt{21}.  \end{align*}$$

       (3) 正確。

因為$a = \frac{3}{2}$。

       (4) 錯誤。

因為$b = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$。

       (5) 正確。

因為$z_2 = \frac{z_2}{z_1} \cdot z_1 = \frac{z_2}{z_1} \cdot 2(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$，所以可知點$B$是由點$C$以原點$O$為旋轉中心、逆時針旋轉$\theta_1$後，再伸縮2倍而得。設$\theta_1$的最小正同界角為$\theta_1^+$，則$\angle BOC = \theta_1^+$或$2\pi - \theta_1^+$。特別當我們取$\theta_1 = \frac{\pi}{2}$時，就有$\angle BOC = \frac{\pi}{2}$。因此$\angle BOC$確實可能等於$\frac{\pi}{2}$。

（解答終了）

==附註==

雖然這是一道幾何問題，但我硬是把解答寫的像是代數問題一樣嚴謹而仔細，沒有放示意圖。我當然可以很幾何地處理這道問題，不過倘若太依賴圖形，選項(5)很容易出問題。我大部分都是幾何學取向，偶爾會突然切換為代數取向，追求極致的邏輯嚴謹。