一道三角形三邊長關係的線性方程組問題

==問題== 

設$a, b, c$為$\Delta ABC$的三邊長，且使方程組$\left\{ \begin{align*} &ax+by=c \\ &bx+cy=a  \end{align*} \right.$有無限多組解，則$\Delta ABC$是何種三角形？

==解答==

由於已知線性方程組為無限多組解，而由二元一次線性方程組的幾何意義可知，此時兩條方程式可視為同一條直線，因此係數與常數之比例相同，亦即有

$$a:b = b:c = c:a,$$

其中依序是$x$係數比例、$y$係數比例與常數比例。將比例式改為分數式，

$$\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}.$$

假定比值為$k$，得

$$\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} = k.$$

（注意$k$為正數相除的結果，所以$k$必為正數）於是可得

$$a = bk, b= ck, c = ak.$$

注意到這三個關係式中，$a, b, c$各在等號兩邊恰出現1次，所以考慮三數乘積得

$$a\cdot b \cdot c = (bk) \cdot (ck) \cdot (ak),$$

整理得

$$abc = abc \cdot k^3,$$

於是解出$k = 1$，故$a = b= c$，即$\Delta ABC$為正三角形。

（解答終了）