一道空間三平面關係的問題

==問題==

若點$P(1, 2, 3)$為三相異平面$E_1: a_1 x + b_1 y +c_1 z = 0, E_2: a_2 x + b_2 y +c_2 z = 0, E_3: a_3 x + b_3 y +c_3 z = 0$的共同點，且點$Q(2, 3, 1)$為另外三平面$F_1: a_1 x + b_1 y +c_1 z = d_1, F_2: a_2 x + b_2 y +c_2 z = d_2, F_3: a_3 x + b_3 y +c_3 z = d_3$的共同點，則$F_1, F_2, F_3$三平面的交線參數式為何？

==解答==

        首先注意題目條件稱$E_1, E_2, E_3$為三相異平面，所以必定不發生重合。

        接著注意由$E_1, E_2, E_3$構成的線性方程組$\left\{ \begin{align*} &a_1 x + b_1 y +c_1 z = 0 \\ &a_2 x + b_2 y +c_2 z = 0 \\ &a_3x + b_3 y +c_3 z = 0 \end{align*} \right.$為齊次方程組(Homogeneous system)，必有全零解$(x, y, z) = (0, 0, 0)$，所以三平面的交點至少一個。

        但又由題目條件「點$P(1, 2, 3)$為三相異平面$E_1, E_2, E_3$的共同點」可知三平面交點並不唯一。於是根據下圖中所揭示之空間中三平面的關係，可知$E_1, E_2, E_3$必交於同一直線！

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命該直線為$L$，於是我們可寫出$L$的方程式為

$$L: \left\{ \begin{align*} &x = 0 + 1t \\ &y = 0 + 2t \\ &z = 0 + 3t \end{align*} \right., t \in \mathbb{R}.$$

注意其中起點為$O(0,0, 0)$，方向向量$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{OP} = (1, 2, 3)$，並且$\overrightarrow{OP}$同於垂直於三平面$E_1, E_2, E_3$的法向量$\overrightarrow{n_1} = (a_1, b_1, c_1), \overrightarrow{n_2} = (a_2, b_2, c_2), \overrightarrow{n_3} = (a_3, b_3, c_3)$。

        接著假設$F_1, F_2, F_3$三平面的交線為$K$，其方向向量$\overrightarrow{v'}$當然也會同時與三平面$F_1, F_2, F_3$的法向量垂直，而$F_1$與$E_1$的法向量同樣是$\overrightarrow{n_1}$，其餘$F_2$與$E_2$、$F_3$與$E_3$皆然。因此我們可以取$\overrightarrow{v'} = \overrightarrow{v} = (1, 2, 3)$，從而直線$K$的方程式為

$$K: \left\{ \begin{align*} &x = 2 + 1t \\ &y = 3 + 2t \\ &z = 1 + 3t \end{align*} \right., t \in \mathbb{R}.$$

其中起點為$Q(2,3, 1)$。

（解答終了）