一道排列組合的問題（2020，印度理工學院，Main, 5 Sep II）

 ==問題== 

某份試卷分為3節，每節都有5道試題，考生只需在全卷中選擇5道試題作答，但規定每節都至少要選擇1題作答，請問作答方法數為

(a) 3000        (b) 1500        (c) 2255        (d) 2250

（原文）

There are 3 sections in a question paper and each section contains 5 questions. A candidate has to answer a total of 5 questions, choosing at least one question from each section. Then the number of ways, in which the candidate can choose the questions, is

(a) 3000        (b) 1500        (c) 2255        (d) 2250

==解答==

首先假定考卷所分的3節分別為A, B, C，而其中各節所含的題目又可以編號為A1, A2, ..., A5, B1, B2, ..., B5, C1, C2, ..., C5。

我們可以寫出幾種可能的作答方式，如：

A1, A3, B4, B5, C1,

A1, B5, C1, C3, C5.

等等。在處理排列組合問題時，我們必須搞題目問的是什麼，要能夠在心中明確寫出幾個題目所求的具體結果。

暫且先忽略具體選的是哪幾題，只注意所選的題目是從哪裡選出、以及選了多少題，那麼所有作答方式可分為兩大類：

(甲) 某節選3題、某節選1題、某節選1題；

(乙) 某節選2題、某節選2題、某節選1題。

對於(甲)而言，顯然又可再細分3類：

A選3題，B選1題，C選1題

B選3題，A選1題，C選1題

C選3題，A選1題，B選1題

（先處理哪部分選3題比較好做）因此能計算出(甲)的方法數一共有$C^5_3 \times C^5_1 \times C^5_1 \times 3 = 750$種方法。

對於(乙)而言，顯然又可再細分3類：

A選1題，B選2題，C選2題

B選1題，A選2題，C選2題

C選1題，A選2題，B選2題

（先處理哪部分選1題比較好做）因此能計算出(甲)的方法數一共有$C^5_1 \times C^5_2 \times C^5_2 \times 3 = 1500$種方法。

綜上所述，所求方法數為$750 + 1500 = 2250$種，選(d)。

（解答終了）