W小姐下午發來一道求多項式除法餘式的問題(不知道是她在得勝者(👎)那邊算到的題目還是啥的),我起初以為用假設餘式的方式、再代入特殊值就可以解出,然而進展不順利。後來我改用二項式定理處理,但是計算量十分大,跟直接寫直式除法沒兩樣,對於考場解題幾乎沒任何用處。我想了三個小時左右,總算勉強搞出來一個考試中可行的方法,這題算是一種特殊的求餘式問題吧!記錄下來,以後或許再碰到就有素材可以用。
==問題==
設f(t)=t15+3t10−t5−2,若f(t)除以t4−t2之餘式為at3+bt2+ct+d,求a−b−c+d。
==解答==
t15+3t10−t5−2=(t4−t2)⋅q(t)+at3+bt2+ct+d.
整理為
t15+3t10−t5−at3−bt2−ct−(2+d)=(t4−t2)⋅q(t),
然後
t15+3t10−t5−at3−bt2−ct−(2+d)=t2(t−1)(t+1)⋅q(t).
注意到右式中有個因子為t2,所以左式必為t2的倍式,從而可判定左式沒有1次項與常數項,故得到
c=0,2+d=0,
即c=0,d=−2。
重新再寫一遍式子,
t15+3t10−t5−at3−bt2=t2(t−1)(t+1)⋅q(t).
根據多項式乘法的消去律,左右兩端同時消去t2,得到
t13+3t8−t3−at−b=(t−1)(t+1)⋅q(t).
接著分別代入t=1與t=−1,得
{1+3−1−a−b=0−1+3+1+a−b=0
解出a=0,b=3。因此所求
a−b−c+d=0−3−0+(−2)=−5.
(解答終了)
==註記==
題目被除式中的未知數的次數15, 10, 5實在很有迷惑性,一直讓我想要使用變數變換z=t5,但發現這樣變換後沒什麼鳥用。也許是我沒看出題目要害,所以本該這樣變換但沒走到正確的路。隨便啦,都耗了我三個小時,解出來就好。
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