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2022年5月12日 星期四

一道求高次多項式除法餘式的問題

        W小姐下午發來一道求多項式除法餘式的問題(不知道是她在得勝者(👎)那邊算到的題目還是啥的),我起初以為用假設餘式的方式、再代入特殊值就可以解出,然而進展不順利。後來我改用二項式定理處理,但是計算量十分大,跟直接寫直式除法沒兩樣,對於考場解題幾乎沒任何用處。我想了三個小時左右,總算勉強搞出來一個考試中可行的方法,這題算是一種特殊的求餘式問題吧!記錄下來,以後或許再碰到就有素材可以用。

==問題==

f(t)=t15+3t10t52,若f(t)除以t4t2之餘式為at3+bt2+ct+d,求abc+d

==解答==

        假設除法商式為q(t),於是可寫出恆等式

t15+3t10t52=(t4t2)q(t)+at3+bt2+ct+d.

整理為

t15+3t10t5at3bt2ct(2+d)=(t4t2)q(t),

然後

t15+3t10t5at3bt2ct(2+d)=t2(t1)(t+1)q(t).

注意到右式中有個因子為t2,所以左式必為t2的倍式,從而可判定左式沒有1次項與常數項,故得到

c=0,2+d=0,

c=0,d=2

        重新再寫一遍式子,

t15+3t10t5at3bt2=t2(t1)(t+1)q(t).

根據多項式乘法的消去律,左右兩端同時消去t2,得到

t13+3t8t3atb=(t1)(t+1)q(t).

接著分別代入t=1t=1,得

{1+31ab=01+3+1+ab=0

解出a=0,b=3。因此所求

abc+d=030+(2)=5.

(解答終了)

==註記==

題目被除式中的未知數的次數15, 10, 5實在很有迷惑性,一直讓我想要使用變數變換z=t5,但發現這樣變換後沒什麼鳥用。也許是我沒看出題目要害,所以本該這樣變換但沒走到正確的路。隨便啦,都耗了我三個小時,解出來就好。

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