一道共線問題

==問題== 

已知$a>0, b<0$，點$P(a, b)$在$x^2 + y^2 = 15$上。若相異三點$A(a^2, a^3), B(b^2, b^3), C(1, 1)$共線，求$ab$之值。

==答案==

$-3$

==解答==

        由$a>0$且$b<0$可知$b \ne a$。

        由$A, B, C$三點相異得$a \ne \pm 1, b \ne \pm 1$。

        由於$A, B, C$三點共線，所以$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$平行，因此有

$$\frac{b^3 - a^3}{b^2 - a^2} = \frac{1 - a^3}{1 - a^2},$$

使用乘法公式展開，得

$$\frac{(b - a)(b^2 + ba +a^2)}{(b - a)(b + a)} = \frac{(1 - a)(1 + a + a^2)}{(1 - a)(1 + a)},$$

整理得

$$\frac{b^2 + ba + a^2}{b + a} = \frac{1 + a + a^2}{1 + a}.$$

交叉相乘得

$$(1 + a)(b^2 + ba +a^2) = (b + a)(1 + a + a^2).$$

展開化簡後得

$$b^2 + ab^2 = a + b.$$

移項為

$$(ab^2 - a) + (b^2 - b) = 0.$$

然後

$$a(b - 1)(b + 1) + b(b - 1) = 0,$$

$$(b - 1)[a(b+1) + b] = 0,$$

等號左右同時消去$b - 1$得

$$ab + a + b = 0.$$

改寫為

$$ab = -a - b.$$

已知$a^2 + b^2 = 15$，所以有

$$(ab)^2 = (-a - b)^2,$$

$$(ab)^2 = a^2 + 2ab + b^2,$$

$$(ab)^2 = 15 + 2ab,$$

$$(ab)^2 - 2ab - 15 = 0.$$

因式分解得

$$(ab - 5)(ab + 3) = 0.$$

由於$a, b$異號，所以$ab = -3$。

（解答終了）