2018年2月2日 星期五

圓內最長的弦為直徑


  • 以下參考書籍均為S. Lang, "Geometry (2nd ed)"。

先複習我們要使用的公設。

==公設==(DIST 2,距離基本公設2)


P. 8, Line 19

For any points P, Q, we have d(P,Q)=d(Q,P).

[譯文]:

對於平面上任意兩點P,Q,恆有d(P,Q)=d(Q,P)

==公設==(SEG,線段長度公設)


P. 9, Line 9

Let P,Q,M be points. We have d(P,M)=d(P,Q)+d(Q,M) if and only if Q lies on the segment between P and M.

[譯文]

P,Q,M為(平面上)任意三點。關係式d(P,M)=d(P,Q)+d(Q,M)成立若且唯若Q在由PM連成的線段上。

==定理==


圓內最長的弦為直徑。

==證明==


設圓心為P,半徑長為r。今任取圓上任意兩點XY,根據習題1.2.8 (P. 11)[或習題1.4.7 (P. 34)],我們有
d(X,Y)2r.


請注意,2r正是直徑的長度。

d(X,Y)2r意味著圓上任意一條弦的長度必定不比直徑長。

然而我們要追問的是,如果一根弦的長度為2r,那麼這根弦必定是直徑嗎?

如今假定弦¯XY的長度為2r,於是便有
d(X,Y)=2r=r+r=d(X,P)+d(Y,P)

根據公設DIST 2,得
d(X,Y)=d(X,P)+d(P,Y).

根據公設SEGP必在線段¯XY上。根據直徑的定義,線段¯XY是直徑。

(證明終了)

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