圓內最長的弦為直徑

• 以下參考書籍均為S. Lang, "Geometry (2nd ed)"。

先複習我們要使用的公設。

==公設==(DIST 2，距離基本公設2)

P. 8, Line 19

For any points P, Q, we have $d(P, Q) = d(Q, P)$.

[譯文]：

對於平面上任意兩點$P, Q$，恆有$d(P, Q) = d(Q, P)$。

==公設==(SEG，線段長度公設)

P. 9, Line 9

Let $P, Q, M$ be points. We have $d(P, M) = d(P, Q) + d(Q, M)$ if and only if $Q$ lies on the segment between $P$ and $M$.

[譯文]

設$P, Q, M$為(平面上)任意三點。關係式$d(P, M) = d(P, Q) + d(Q, M)$成立若且唯若$Q$在由$P$和$M$連成的線段上。

==定理==

圓內最長的弦為直徑。

==證明==

設圓心為$P$，半徑長為$r$。今任取圓上任意兩點$X$與$Y$，根據習題1.2.8 (P. 11)[或習題1.4.7 (P. 34)]，我們有
$$
d(X, Y) \leq 2r.
$$

請注意，$2r$正是直徑的長度。

$d(X, Y) \leq 2r$意味著圓上任意一條弦的長度必定不比直徑長。

然而我們要追問的是，如果一根弦的長度為$2r$，那麼這根弦必定是直徑嗎？

如今假定弦$\overline{XY}$的長度為$2r$，於是便有
\begin{eqnarray*}
d(X, Y)
&=& 2r \\
&=& r + r \\
&=& d(X, P) + d(Y, P)
\end{eqnarray*}
根據公設DIST 2，得
$$
d(X, Y) = d(X, P) + d(P, Y).
$$
根據公設SEG，$P$必在線段$\overline{XY}$上。根據直徑的定義，線段$\overline{XY}$是直徑。

(證明終了)