- 以下參考書籍均為S. Lang, "Geometry (2nd ed)"。
先複習我們要使用的公設。
==公設==(DIST 2,距離基本公設2)
P. 8, Line 19
For any points P, Q, we have d(P,Q)=d(Q,P).
[譯文]:
對於平面上任意兩點P,Q,恆有d(P,Q)=d(Q,P)。
==公設==(SEG,線段長度公設)
P. 9, Line 9
Let P,Q,M be points. We have d(P,M)=d(P,Q)+d(Q,M) if and only if Q lies on the segment between P and M.
[譯文]
設P,Q,M為(平面上)任意三點。關係式d(P,M)=d(P,Q)+d(Q,M)成立若且唯若Q在由P和M連成的線段上。
==定理==
圓內最長的弦為直徑。
==證明==
設圓心為P,半徑長為r。今任取圓上任意兩點X與Y,根據習題1.2.8 (P. 11)[或習題1.4.7 (P. 34)],我們有
d(X,Y)≤2r.
請注意,2r正是直徑的長度。
d(X,Y)≤2r意味著圓上任意一條弦的長度必定不比直徑長。
然而我們要追問的是,如果一根弦的長度為2r,那麼這根弦必定是直徑嗎?
如今假定弦¯XY的長度為2r,於是便有
d(X,Y)=2r=r+r=d(X,P)+d(Y,P)
根據公設DIST 2,得
d(X,Y)=d(X,P)+d(P,Y).
根據公設SEG,P必在線段¯XY上。根據直徑的定義,線段¯XY是直徑。
(證明終了)
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