107，學測，數學，單選3

==問題==

某公司規定員工可在一星期（七天）當中選擇兩天休假。若甲、乙兩人隨機選擇休假日且兩人的選擇互不相關，試問一星期當中發生兩人在同一天休假的機率為何？

(1) $\frac{1}{3}$    (2) $\frac{8}{21}$    (3) $\frac{3}{7}$    (4) $\frac{10}{21}$    (5) $\frac{11}{21}$

[107，學測，數學，單選3]

==解答==

命樣本空間$\Omega = \left\{ \left( \text{甲的休假日}, \text{乙的休假日} \right) \right\}$，將甲的休假日記為$ab$，當中$1 \leq a < b \leq 7$。乙也用類似的記法。於是$\Omega = \left\{ (ab, cd) | 1 \leq a < b \leq 7, 1 \leq c < d \leq 7 \right\}$，從而$n \left( \Omega \right) = {7 \choose 2} \times {7 \choose 2}$。

再設事件$A = \text{兩人在同一天休假}$。以集合來寫，即是$A = \left\{ (ab, cd) \in \Omega | \left\{a, b\right\} \cap \left\{c, d\right\} \neq \phi \right\}$。

如果要直接計算$n(A)$，並不好計算。因為要考慮幾種情況，例如兩人的休假日有可能兩天完全相同，也有可能只有一天相同。而若只有一天相同，則必須考慮比較複雜的分布情況。

基於這樣的理由，我們改為計算$n(A^c)$。

事件$A^c = \left\{ (ab, cd) \in \Omega | \left\{a, b\right\} \cap \left\{c, d\right\} = \phi \right\}$。我們先決定甲的休假日$ab$，然後再決定乙的休假日$cd$。在決定甲休假日$ab$時，可以從$1$到$7$中這$7$個數字任選出$2$個，因此有${7 \choose 2}$種選法。接著決定乙的休假日，由於必須滿足$\left\{ a, b \right\} \cap \left\{ c, d \right\} = \phi$，因此乙只能從$1$到$7$中剔除$a$與$b$後剩下的$5$天來選出$2$天，故有${5 \choose 2}$種選法。總結而論，$n(A^c) = {7 \choose 2} \times {5 \choose 2}$。

所以
$$\begin{eqnarray*} P(A) &=& 1 - P(A^c) \\ &=& 1 - \frac{{7 \choose 2} \times {5 \choose 2}}{{7 \choose 2} \times {7 \choose 2}}\\ &=& 1 - \frac{10}{21} \\ &=& \frac{11}{21} \end{eqnarray*}$$
答案選(5)。

(解答結束)

==評註==

幹嘛要用集合符號來寫？

搞這麼複雜，似乎在脫褲子放屁。

不！

一旦有辦法寫出集合，基本上就算是相當了解其中的結構，從而運算上可以避免「漏算」或是「重複」的情況。

所以我覺得，處理組合學問題，若能寫出集合就應該盡量寫出集合。