圓盤是凸的

==定義==(凸性)

設$\Gamma$為平面上的非空點集，若對於$\Gamma$中的任意點$X, Y$恆有$\overline{XY} \subset \Gamma$，則稱$\Gamma$是「凸的」。

更形象化來說，就是如果圖形$\Gamma$中任意兩點所連成的線段都會完全地落在$\Gamma$裡頭，那麼就說$\Gamma$是凸的。

==定義==(圓盤Disc)

設$P$為平面上任意一點，$r$為任意正數。我們稱點集
$$D(P, r) = \left\{ X | d(X, P) \leq r \right\}$$
為以$P$為圓心、$r$為半徑長的圓盤(disc)。

==定理==

圓盤是凸的。

==證明==

設$X, Y$為圓盤$D(P, r)$中的任意兩點。

我們這裡只討論$X \neq Y$的情況，因為$X =Y$的情況是無聊的(trivial)。

根據圓盤的定義有$d(X, P) \leq r$以及$d(Y, P) \leq r$。

設$Z$為線段$\overline{XY}$上的任意一點。命$\lambda = \frac{\overline{XZ}}{\overline{XY}}$，於是$\lambda \in [0, 1]$，而$Z = X + \overrightarrow{XZ} = X + \lambda \overrightarrow{XY} = X + \lambda \left( Y - X \right) = (1 - \lambda) X + \lambda Y$。

於是
$$\begin{eqnarray*} d(Z, P) &=& d\left( (1 - \lambda) X + \lambda Y, P \right) \\ &\leq& d\left( (1 - \lambda) X + \lambda Y, \lambda Y + (1 - \lambda) P \right) + d\left( \lambda Y + (1 - \lambda) P , P \right) \\ &=& (1 - \lambda) d\left( X, P \right) + \lambda d(Y, P) \\ &\leq& (1 - \lambda) r + \lambda r\\ &=& r \\ \end{eqnarray*}$$

(證明終了)