三角不等式

==定理==(三角不等式)

若$a, b$為任意實數，則$|a+b| \leq |a| + |b|$。

==證明==

首先請注意，對於任意實數$r, s$恆有$r \leq |r|$以及$|r \cdot s| = |r| \cdot |s|$。

以下開始證明。

$$\begin{eqnarray*} |a+b| &=& \sqrt{(a+b)^2} \\ &=& \sqrt{a^2 + 2ab + b^2} \\ &\leq& \sqrt{|a|^2 + 2|a| \cdot |b| + |b|^2} \\ &=& \sqrt{\left( |a| + |b| \right)^2} \\ &=& \left| |a| + |b| \right| \\ &=& |a| + |b| \end{eqnarray*}$$

(證明終了)