配方、Lagrange恆等式與Cauchy不等式

==主旨==

利用配方證明Lagrange恆等式，然後導出Cauchy不等式。

==題目==

1. 直接展開後，合併並配方，證明Lagrange恆等式：
   $$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 = (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2.$$
2. 證明n變數的Lagrange恆等式並找出書寫規律：
   $$\begin{eqnarray*}&&(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2) (b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \\ &=& (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 + (a_1 b_3 - a_3 b_1)^2 + \cdots + (a_n b_{n-1} - a_{n - 1} b_n)^2.\end{eqnarray*}$$
3. 證明Cauchy不等式：
   $$\sqrt{a_1^2 + \cdots + a_n^2} \sqrt{b_1^2 + \cdots + b_n^2} \ge |a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n|.$$
4. 求出Cauchy不等式等號成立的充要條件：
   (i) 若Cauchy不等式等號成立，則？
   (ii) 在怎樣的條件下，Cauchy不等式等號會成立？
5. 設$p, q$皆為實數，取$a_1 = p, a_2 = q, b_1 = q, b_2 = p$，使用Cauchy不等式推導出2元算幾不等式：
   $$\frac{\text{非負實數}s + \text{非負實數}t}{2} \ge \sqrt{\text{非負實數}s \times \text{非負實數}t}.$$
   並求出算幾不等式等號成立的充要條件。

無限循環小數的總和

==主旨==

1. 觀察各位值數字的排列，得出所有排列數字的總和。
2. 引導學生推出「無限循環小數化為分數的公式」

==題目==

1. 若a, b分別代表不同的數字，請問由a, b所構成之各位相異的二位數有多少種？
2. 若a, b, c分別代表不同的數字，請問由a, b, c所構成之各位相異的三位數有多少種？
3. 若a, b, c, d, e分別代表不同的數字，請問由a, b, c, d, e所構成之各位相異的五位數有多少種？
4. 小學學過的定位板告訴我們每個整數的十進表示是由哪些數所構成：
   $$a_n a_{n - 1} \cdots a_2 a_1 = a_n \times 10^{n - 1} + a_{n - 1} \times 10^{n - 2} + \cdots + a_2 \times 10^1 + a_1 \times 10^0.$$
   請將五位數$abcde$表示為以上的形式。
5. 在上一小題中，
   (i) 有多少個五位數含有$a \times 10^4$？
   (ii) 有多少個五位數含有$a \times 10^3$？
   (iii) 有多少個五位數含有$a \times 10^2$？
   (iv) 有多少個五位數含有$a \times 10^1$？
   (v) 有多少個五位數含有$a \times 10^0$？
6. 若a, b分別代表不同的數字，請問無限循環小數
   $$0.ababab\cdots$$
   化為分數後為何？請以數字及a, b表示。
7. 若a, b, c分別代表不同的數字，請問無限循環小數
   $$0.abcabcabc\cdots$$
   化為分數後為何？請以數字及a, b, c表示。
8. 若a, b c, d, e分別代表不同的數字，請問無限循環小數
   $$0.abcdeabcdeabcde\cdots$$
   化為分數後為何？請以數字及a, b c, d, e表示。
9. 數字全用，但不重複，由1, 3, 5, 7, 9這五個數字所構成的純循環小數（形如$0.\overline{13579}, 0.\overline{53971}$等），共有多少個？總和是多少？
   [提示：欲計算總和，請先化為分數後再計算比較容易。]

充分條件與必要條件，不等式的解集合，1990中國高考數學全國卷

==主旨==

這份習題的目標是藉由圖解不等式來認識「充分條件」與「必要條件」的定義。

==導引==

定義 考慮兩敘述A, B，若可由敘述A推導出敘述B，也就是$A \Rightarrow B$，則
(i) 稱敘述A為敘述B的充分條件(sufficient condition)。
(ii) 稱敘述B為敘述A的必要條件(necessary condition)。

例子 敘述A：「碧曲是正妹。」；敘述B：「碧曲是人類。」

如果敘述A正確，也就是我們已經知道碧曲確實是正妹，那麼碧曲一定是人類，亦即敘述B是正確的。因此我們可以從敘述A推導出敘述B。

套用以上對於「充分條件」與「必要條件」的定義，我們會說：
(i) 「碧曲是人類」為「碧曲是正妹」的必要條件；
(ii) 「碧曲是正妹」為「碧曲是人類」的充分條件；

注意 但是如果把兩個敘述的位置對調反過來，那麼推理的鍊條未必串的起來。這就是說，就算敘述B是正確的，我們知道「碧曲是人類」，可是我們卻無法由此推論出「碧曲是正妹」，不能確定敘述A正確與否。

定義 考慮兩敘述A, B，若可由敘述A推導出敘述B，同時也可由敘述B推導出敘述A，亦即有$A \Leftrightarrow B$，那麼兩條件互稱為彼此的充要條件(sufficient and necessary condition)。

復向東，見一商港，然商販皆金髮碧眼，料是海外來朝之英吉利商販集散所在，舶來異寶眾多，正目眩神迷間，琴聲價響，佇聽之，或如山壑雅秀，或如水潭靜謐，時悠遠輕揚，復而厚實凝重，令人神馳，急尋琴聲來處，見一英吉利女子正自奏藝販琴，當下文思泉湧，兼有結識之意，於是突出人群，吟詩唱和：「商娥扶碧曲，秀謐悠而厚...」詩未竟，曲驟斷，但見英女神色驚訝，連聲曰諾，正暗喜間，卻見數名英商巡官怒目而來倒拖吾身，飽以老拳。嗟乎，奈何蠻夷終究不識詩詞曲賦之美...。

==題目，第1組，中國1990高考數學全國卷文史類組==

1. 圖解不等式：$0 < x < 5$。
2. 解不等式：$| x - 2| < 3$，並圖解之。
3. 若將第1題的圖形稱為甲，將第2題的圖形稱為乙，請問甲乙兩者的包含關係為何？是甲包含乙，還是乙包含甲，還是沒有包含關係？
   請注意這裡所謂的「包含在...之中」是指完全包含。若只有一部份重疊就不算包含了。
4. 如果某點在圖形甲之中，那麼該點一定會在圖形乙之中嗎？如果不會，那麼是哪些點不聽話呢？
5. 如果某點在圖形乙之中，那麼該點一定會在圖形甲之中嗎？如果不會，那麼是哪些點不聽話呢？
6. [原題] 設命題甲為：$0 < x < 5$；命題乙為：$| x - 2| < 3$。那麼
   (A) 甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件。
   (B) 甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件。
   (C) 甲是乙的充要條件。
   (D) 甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件。

==題目，第2組，中國1990高考數學全國卷理工農醫類組==

1. 取定正數h，在座標平面上畫出不等式$| x - y| < 2h$的解區域。
2. 同樣的正數h，在座標平面上畫出聯立不等式$\left\{ \begin{array}{l} | x - 1| < h \\ | y - 1| < h \end{array} \right.$的解區域。（請注意聯立不等式意味著兩條式子的條件要同時滿足！）
3. 若將第1題的圖形稱為甲，將第2題的圖形稱為乙，請問甲乙兩者的包含關係為何？是甲包含乙，還是乙包含甲，還是沒有包含關係？
   請注意這裡所謂的「包含在...之中」是指完全包含。若只有一部份重疊就不算包含了。
4. 如果某點在圖形甲之中，那麼該點一定會在圖形乙之中嗎？如果不會，那麼是哪些點不聽話呢？
5. 如果某點在圖形乙之中，那麼該點一定會在圖形甲之中嗎？如果不會，那麼是哪些點不聽話呢？
6. [原題] 已知$h > 0$。設命題甲為：兩個實數x, y滿足$| x - y| < 2h$；命題乙為：兩個實數x, y滿足$| x - 1| < h$且$| y - 1| < h$。那麼
   (A) 甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件。
   (B) 甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件。
   (C) 甲是乙的充要條件。
   (D) 甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件。

1 The positive integer

==自然數/正整數==

正整數(Positive integer)：1, 2, 3, ...。也稱為自然數(Natural number)。

==基本運算：加法、乘法==

$\forall a, b \in \mathbb{N}$，可計算它們的和(sum) $a + b$與積(product) $ab$。

加法封閉性：正整數$+$正整數$=$正整數。

乘法封閉性：正整數$\times$正整數$=$正整數。

==運算律==

交換律(commutative law)：

加法：$a + b = b + a$。

乘法：$ab = ba$。

結合律(associative law)

加法：$a + (b + c) = (a + b) + c$。

乘法：$a(bc) = (ab)c$。

分配律(distribution law)

$a(b + c) = ab + ac$。

==例子==

證明：$7(3 \cdot 6) = 6 (3 \cdot 7)$。

[解].
$$\begin{eqnarray*} 7(3 \cdot 6) &=& (7 \cdot 3) 6 \quad [\text{乘法結合律}] \\ &=& 6 (7 \cdot 3) \quad [\text{乘法交換律}] \\ &=& 6 (3 \cdot 7) \quad [\text{乘法交換律}] \end{eqnarray*}$$

(解答結束)

證明：$a(b + c) = ca + ab$。

[解].
$$\begin{eqnarray*} a(b + c) &=& ab + ac \quad [\text{分配律}] \\ &=& ac + ab \quad [\text{加法交換律}] \\ &=& ca + ab \quad [\text{乘法交換律}] \end{eqnarray*}$$

(解答結束)

==不具備一般運算律的例子==

定義$a \oplus b = 2a, a \odot b = 2ab$。

$a \oplus b = 2a$，而$b \oplus a = 2b$，所以$a \oplus b \ne b \oplus a$，不滿足加法交換律。

$a \odot b = 2ab$，而$b \odot a = 2ba = 2ab$，有$a \odot b = b \odot a$，滿足乘法交換律。

$a \oplus (b \oplus c) = a \oplus 2b = 2a$，而$(a \oplus b) \oplus c = 2a \oplus c = 2(2a) = 4a$，所以$a \oplus (b \oplus c) \ne (a \oplus b) \oplus c$，不滿足加法結合律。

$a \odot (b \odot c) = a \odot 2bc = 2a(2bc) = 4abc$，而$(a \odot b) \odot c = 2ab \odot c = 2(2ab)c = 4abc$，有$a \odot (b \odot c) = (a \odot b) \odot c$，滿足乘法結合律。

$a \odot (b \oplus c) = a \odot 2b = 2a(2b) = 4ab$，而$a \odot b \oplus a \odot c = 2ab \oplus 2ac = 2(2ab) = 4ab$，有$a \odot (b \oplus c) = a \odot b \oplus a \odot c$，滿足分配律。

棋盤上的矩形個數

==問題==

如圖所示，有多少個矩形？

 ==解答==

本題使用排容原理。

先將不完整的棋盤裡的線補完，同時對垂直線以及水平線編號，如下圖所示。

在不考慮中間是否挖空的情況下，由$r_1, \cdots, c_6$與$c_1, \cdots, c_7$等線所決定的矩形個數為${6 \choose 2} \times {7 \choose 2} = 315$個。

現在回過頭來考慮挖空的影響。

在以上315個矩形中，只要邊界之一由$r_4$或$c_3$構成者，一概都不可計入。所以
$$\begin{eqnarray*} n(\text{不可計入矩形}) &=& n(\text{邊界之一由}r_4\text{或}c_3\text{構成者}) \\ &=& n(\text{邊界之一由}r_4\text{構成者}) + n(\text{邊界之一由}c_3\text{構成者}) - n(\text{邊界之二由}r_4\text{及}c_3\text{構成者}) \\ &=& {5 \choose 1} \times \left[ {7 \choose 2} - {2 \choose 2} - {4 \choose 2} \right] + {6 \choose 1} \times \left[ {6 \choose 2} - {3 \choose 2} - {2 \choose 2} \right] - {5 \choose 1} \times {6 \choose 1} \\ &=& 70 + 66 - 30 \\ &=& 106\text{個}. \end{eqnarray*}$$
因此所求矩形數$= 315 - 106 = 209$個。

兩數的最大值及最小值的表示法

==主旨==

在本份習題中，我們將來探討如何用數學符號來表示任意兩數的最大值以及最小值，然後利用幾何概念和絕對值符號具體寫出最大值及最小值的表示式。

==題目==

1. 對於任意兩實數a, b，我們總能比較出它們之間的大小關係。更進一步有所謂的三一律：「兩實數a, b的大小關係只有可能是$a>b, a=b, a<b$三種可能中的其中一種。」當$a<b$或$a=b$時，我們用$a \le b$來表示；當$a>b$或$a=b$時，我們用$a \ge b$來表示。現在，對於任意兩實數p, q，當$p \ge q$時，我們定義p, q的最大值為$\max (p, q) = p$，最小值為$\min (p, q) = q$。請根據此定義，計算：
   (i) $\max (1, 3), \min (1, 3)$；
   (ii) $\max \left(\sqrt{2}, \frac{7}{2} \right), \min \left(\sqrt{2}, \frac{7}{2} \right)$；
   (iii) $\max (-1, 2), \min (-1, 2)$；
   (iv) $\max (\pi, \sqrt{\pi}), \min (\pi, \sqrt{\pi})$；
   (v) $\max \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right), \min \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right)$。
2. 在數線上，點A的座標為a，點B的座標為b。命A, B之間的中點為M，試用a, b表示出點M的座標。
3. 在數線上，點A的座標為a，點B的座標為b。以下哪些選項代表點A與點B之間的距離？
   (A) $a - b$。
   (B) $b - a$。
   (C) $|a - b|$。
   (D) $|b - a|$。
   (E) $\max (a, b) - \min (a, b)$。
4. 在數線上，點A的座標為a，點B的座標為b。請問式子$\frac{|a - b|}{2}$的幾何意義為何？
5. 用幾何意義證明：
   $$\max (a, b) = \frac{a + b + |a - b|}{2}.$$
   [提示：(i) 你得考慮所有情況，不只是$a<b$的情況；(ii) 分數的加法運算：$\frac{p + q}{r} = \frac{p}{r} + \frac{q}{r}$。]
6. 根據上題關於$\max (a, b)$的表示式，請寫出$\min (a, b)$的表示式，然後用幾何意義論述你的式子正確性。

我以前高中補數學的筆記

這篇文章簡單談談同學們來補習，上課該如何寫筆記、回家要怎麼寫作業。

我知道同學們最不愛與同儕比較，很討厭爸媽拿「隔壁鄰居的兒子/女兒」或是「四叔的姪子」等同齡人來打擊自己。

我也不喜歡。與其褒揚某某學生，拿來當筆記範本，然後引起同學間的仇視等不愉快，不如就拿我自己當例子。

高二下，社團（數學研究社）的指導老師傅瑞琪老師告訴我：「如果想要上台大，參考書上每一題都要寫完；如果想上清交，那不用這麼辛苦，但至少參考書上的題目要寫完八成。」到了高三，我想學快一點來複習，所以去了蘇永年老師那兒補習。一方面是為了把進度拉快一些，另一方面覺得蘇老師很有趣，像個丑角，讓我可以在課業壓力沉重的高三生活中笑一笑。另外我認為他的教學方式或許對我以後當老師教學有幫助。（對，我從國中就立志讀師大數學，想回去母校三民國中教書。後來走歪了，讀了清大而教補習班。）

蘇永年老師的講義，就是這麼花俏，走浮誇風。我來台北工作後，曾經把這講義給同事看，同事的評價是：「這老師的審美觀很奇怪，應該找個人幫他設計正常一點。」

雖然上課動機不單純，不過上課最重要的就是要學到東西，所以我還是很認真的做筆記，然後按傅老師告訴我的，用「全力」寫完講義上的題目。蘇老師的講義，題目不多，而且版面留得很充分（這點影響了我現在編輯講義的風格），寫起來沒有太大的壓力。寫作業前，我總是可以坦然面對，不會在內心憤恨「他媽的這麼多誰寫的完」。

這是講義的目錄。請注意上頭每個小節前我自己做了兩個框框，那個是後頭作業的分類，每寫完一部份，我就會心滿意足地翻到目錄打勾

蘇老師的講義基本上都打好大框架了，只有一些空格與圖形要跟著上課填。老師上課時，繪圖還算認真，所以我也盡力仿效老師，把圖畫好來，將筆記抄齊來。

這是上課帶例題的部分。我的字雖然不好看，但是盡力寫工整。老師黑板上的東西幾乎全抄，譬如解題分步驟的符號$1^{\circ}$、$2^{\circ}$…就是從蘇老師那學來的。特別重要的技巧就是打個星號。要背的公式或是結論就用螢光筆標記。

我不敢說我上課有多認真，譬如我曾經跟同學魏皓宇在底下玩BB槍，當時想突然把槍舉起來開火，看老師會怎樣，但是怕老師發飆，這麼中二屁孩的行為就算了。不過這件事沒這麼簡單落幕，魏皓宇很白痴地想嘗試BB槍子彈的威力，就在上課時抵著自己的大腿打了一發，扳機扣下去後，他痛的哭爹喊娘，但是卻又不敢在課堂上叫出來，只能硬著頭皮憋著。

雖然上課會做這些白痴事，但是我敢保證課堂上80%的時間我都是全神貫注的。另外，我也從來沒在課上睡過覺。

離題了，我們再繼續看看寫作業的情況。

這一頁作業僥倖地全對了。請注意右上角，我把解答的頁數寫在那兒，因為我每次寫完作業就想立刻對答案，看自己對多少，然後不會的題目要怎樣算。

由於補習的進度比學校快，我也確信補習上課都有聽懂，所以我在學校的數學課常常沒聽，就是在下面自己寫補習班的作業。除了上課偷寫之外，晚修也會寫一下。每次補習上課完，大概兩天內我就會開始動工，一次差不多寫兩面，然後就去讀其他科。

再看一頁我訂正的情況。

資優第3題我只會做三分之一，實在不會做了，我想了十分鐘左右吧，我就會去看解答訂正，然後把解答完整地寫過來。

訂正作業時，偶爾會出現老師給錯答案的情況，每每抓到老師的錯，我都會覺得很愉快。這是一個激發我認真算數學的動力之一。我倒不記得有沒有拿講義去問問題，當時高三的數學不覺得太困難，就算題目作錯或不會寫，看看解答我也能搞定。

總結一下：

1. 拿到講義，應該去瞭解講義的結構，目錄、重點、例題、習題、解答，這樣才知道如何使用。
2. 講義硬體結構不足之處，要自己去改造，靈活變通。
3. 上課要盡可能認真，在課堂上就要聽懂原理，回家才有時間練習，而不是停留在搞懂的層次。上課要100%認真很難，但至少也要來個80%。
4. 作業不要拖太久才寫，否則上課的東西都忘光光。最好一兩天內就開始寫。每次不用寫太多，認真寫個10題一小時（含檢討），其實就很充實了。
5. 作業要認真檢討，用紅筆批改，正視自己的錯誤。仔細閱讀解答，然後把解答抄過來。如果自己搞不定，一定要去請教老師（我不喜歡問同學，一來感覺自己像個智障，二來老師總是比較強，當然要向強者學習！）。

感謝蘇老師當年的指導，雖然沒什麼直接接觸，但是他清晰的教學與還算完整的講義，省去了我在數學上頭疼的時間，從而讓我有餘力去對付可怕的物理。

我希望我的學生們在看完這篇文章後，不是記著我當年上課的蠢事，也不是以獵奇的心態看我當年的筆記，而是要跟我學學如何讀書，好歹也要學到那個樣式。