105，指考，數學甲，多選7

==問題==

在實數線上，動點A從原點開始往正向移動，動點B從8的位置開始往負向移動。兩個動點每一秒移動一次，已知第一秒A、B移動的距離分別為1、4，且A、B每次移動的距離分別為其前一次移動距離的$\frac{1}{2}$倍、$\frac{1}{3}$倍。令$c_n$為第$n$秒時A、B的中點位置。請選出正確選項。
(1) $c_1 = \frac{5}{2}$
(2) $c_2 > c_1$
(3) 數列$\left< c_{n+1} - c_n \right>$是一個等比數列
(4) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 2$
(5) $c_{1000} > 2$

[105，指考，數學甲，多選7]

==解答==

假定第$n$秒時，點A的位置為$a_n$，點B的位置為$b_n$。

於是$a_1 = 1, b_1 = 4$。

再假定點A於第$n$秒內的移動量(考慮正負)為$d_n$，點B於第$n$秒內的移動量(考慮正負)為$\delta_n$。

於是$d_1 = 1, \delta_1 = -4$，然後$d_2 = \frac{1}{2}, \delta_2 = -4 \cdot \frac{1}{3}$，因此可推論$d_n = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}, \delta_n = -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}$。

根據題意與假設，可得

$$a_n = a_{n-1} + d_n, b_n = b_{n-1} + \delta_n.$$

代入前述對$d_n$與$\delta_n$的計算，可得

$$a_n = a_{n-1} + \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}, b_n = b_{n-1} -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}.$$

接著，由於
$$\begin{eqnarray*} a_2 - a_1 &=& \left( \frac{1}{2} \right)^1 \\ a_3 - a_2 &=& \left( \frac{1}{2} \right)^2 \\   &\vdots&  \\ a_n - a_{n-1} &=& \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \end{eqnarray*}$$
從而
$$\begin{eqnarray*} a_n - a_1 &=& \left( \frac{1}{2} \right)^1 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \cdots + \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \\   &=& \frac{\frac{1}{2} \cdot \left[ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right]}{1 - \frac{1}{2}} \\   &=& 1 - \frac{1}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$$
故
$$a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}.$$

另外一方面，由於
$$\begin{eqnarray*} b_2 - b_1 &=& -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^1 \\ b_3 - b_2 &=& -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 \\   &\vdots&  \\ b_n - b_{n-1} &=& -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \end{eqnarray*}$$
從而
$$\begin{eqnarray*} b_n - b_1 &=& -4 \cdot \left[ \left( \frac{1}{3} \right)^1 + \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \cdots + \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \right] \\   &=& -4 \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \left[ 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \right]}{1 - \frac{1}{3}} \\   &=& -2 + \frac{2}{3^{n-1}} \end{eqnarray*}$$
故
$$b_n = 2 + \frac{2}{3^{n-1}}.$$

那麼
$$c_n = \frac{a_n + b_n}{2} = \frac{2 - \frac{1}{2^{n-1}} + 2 + \frac{2}{3^{n-1}}}{2} = 2 - \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^{n-1}}.$$

以下開始處理各選項。

(1) $c_1 = 2 - \frac{1}{2^1} + \frac{1}{3^{1-1}} = 2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{2}$。正確。

(2) $c_2 = 2 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^{2-1}} = 2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{25}{12} < \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = c_1$。錯誤。

(3) $c_{n-1} - c_n = \left( 2 - \frac{1}{2^{n+1}} + \frac{1}{3^n} \right) - \left( 2 - \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^{n-1}} \right) = \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{2}{3^n}$。錯誤。

(4) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 2 - \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^{n-1}} \right) = 2 - 0 + 0 = 0$(請注意，$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n} = 0$且$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3^{n-1}} = 0$，故可使用極限的四則運算)。正確。

(5) $c_{1000} = 2 - \frac{1}{2^{1000}} + \frac{1}{3^{999}}$，由於$\log 2^{1000} = 1000 \cdot \log 2 \approx 1000 \cdot 0.301 = 301$，$\log 3^{999} = 999 \cdot \log 3 \approx 999 \cdot 0.4771 = 476.6229$，故$2^{1000}< 3^{999}$，從而$- \frac{1}{2^{1000}} + \frac{1}{3^{999}} = \frac{1}{3^{999}} - \frac{1}{2^{1000}} < 0$，因此$c_{1000} = 2 + \text{負數} < 2$。錯誤。

選(1)、(4)。

(解答結束)

106，指考，數學甲，單選4

==問題==

已知一實係數三次多項式$f(x)$在$x=1$有極大值$3$，且圖形$y = f(x)$在$\left( 4, f(4) \right)$之切線方程式為$y-f(4)+5(x-4)=0$，試問$\displaystyle \int_{1}^{4} f''(x) {\rm d} x$之值為下列哪一個選項？
(1) $-5$
(2) $-3$
(3) $0$
(4) $3$
(5) $5$

[106，指考，數學甲，單選4]

==解答==

「$f(x)$在$x=1$有極大值$3$」$\Rightarrow$ (i) $f(1) = 3$；(ii) $f'(1)=0$。

「圖形$y = f(x)$在$\left( 4, f(4) \right)$之切線方程式為$y-f(4)+5(x-4)=0$」，與點斜式$y - y_0 = f'(x_0) (x - x_0)$相比較，可知$f'(4) = -5$。

所求$\displaystyle \int_{1}^{4} f''(x) {\rm d} x = \left[ f'(x) \right]_{1}^{4} = f'(4) - f'(1) = -5 - 0 = -5$，選(1)。

(解答結束)

106，指考，數學甲，單選3

==問題==

試問在$0 \leq x \leq 2\pi$的範圍中，$y = 3 \sin x$的函數圖形與$y = 2 \sin 2x$的函數圖形有幾個交點？
(1) 2個交點
(2) 3個交點
(3) 4個交點
(4) 5個交點
(5) 6個交點

[106，指考，數學甲，單選3]

==解答==

本題相當於計算方程式$3 \sin x = 2 \sin 2x$在$0 \leq x \leq 2\pi$的範圍中有多少個根。
$$\begin{eqnarray*} 3 \sin x &=& 2 \sin 2x \\ 3 \sin x &=& 2 \cdot 2 \sin x \cos x \quad [2\text{倍角公式}] \\ 3 \sin x &=& 4 \sin x \cos x \\ 3 \sin x - 4 \sin x \cos x&=& 0 \\ \sin x (3 - 4 \cos x) &=& 0 \\ \Rightarrow \sin x = 0 \text{或} \cos x = \frac{3}{4}. \end{eqnarray*}$$
若$\sin x = 0$，則$x = 0, \pi, 2\pi$。

若$\cos x = \frac{3}{4}$，則$x = \arccos \frac{3}{4}, 2\pi - \arccos \frac{3}{4}$。(註：此地設定反餘弦函數$\arccos : [-1, 1] \rightarrow [0, \pi]$)

方程式在$[0, 2 \pi]$共$5$解所以有$5$個交點，選(4)。

(解答結束)

106，指考，數學甲，單選2

==問題==

設$a = \sqrt[3]{10}$。關於$a^5$的範圍， 試選出正確的選項。
(1) 25 $\leq a^5 <$ 30
(2) 30 $\leq a^5 <$ 35
(3) 35 $\leq a^5 <$ 40
(4) 40 $\leq a^5 <$ 45
(5) 45 $\leq a^5 <$ 50

[106，指考，數學甲，單選2]

==解答==

$a = \sqrt[3]{10} \Rightarrow a^3 = 10$。

$8 < a^3 < 27 \Rightarrow 2 < a < 3$。

$a = 2 + d, d \in (0, 1)$。
$$\begin{eqnarray*} a^3 = 10 &\Rightarrow& (2 + d)^3 = 10 \\ &\Rightarrow& 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot d + 3 \cdot 2 \cdot d^2 + d^3 = 10 \\ &\Rightarrow& 8 + 12d + 6d^2 + d^3 = 10 \\ &\Rightarrow& 8+12d \approx 10 \\ &\Rightarrow& d \approx \frac{1}{6} \approx 0.16 \quad [\text{略為高估}] \\ &\Rightarrow& a \approx 2.16 \end{eqnarray*}$$
$a^5 = a^3 \cdot  a^2 = 10 \cdot a^2 \approx 10 \cdot (2.16)^2 = 10 \cdot 4.6656 = 46.656$。

選(5)。

(解答結束)

106，指考，數學甲，單選1

==問題==

從所有二位正整數中隨機選取一個數，設$p$是其十位數字小於個位數字的機率。關於$p$值的範圍，試選出正確的選項。
(1) 0.22 $\leq p \leq$ 0.33
(2) 0.33 $\leq p \leq$ 0.44
(3) 0.44 $\leq p \leq$ 0.55
(4) 0.55 $\leq p \leq$ 0.66
(5) 0.66 $\leq p \leq$ 0.77

[106，指考，數學甲，單選1]

==解答==

命樣本空間$\Omega = \left\{ \text{所有二位正整數} \right\}$，則$\Omega = \left\{ 10, 11, \cdots, 99 \right\}$，且$n(\Omega) = 90$。

再設事件$A = \left\{ \text{十位數字小於個位數字的二位正整數} \right\}$，則
$$\begin{eqnarray*} A &=& \left\{ 12, 13, \cdots, 89 \right\} \\ &=& \left\{ 12, \cdots, 19 \right\} \sqcup \left\{ 23, \cdots, 29 \right\} \sqcup \cdots \sqcup \left\{ 89 \right\}. \end{eqnarray*}$$
(此地符號「$\sqcup$」意為兩互斥集合之聯集)所以
$$n(A) = 8 + 7 + \cdots + 1 = \frac{(8+1) \cdot 8}{2} = 36.$$

題目所求$p = P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{36}{90} = \frac{2}{5} = 0.4$，故選(2)。

(解答結束)

107，學測，數學，單選3

==問題==

某公司規定員工可在一星期（七天）當中選擇兩天休假。若甲、乙兩人隨機選擇休假日且兩人的選擇互不相關，試問一星期當中發生兩人在同一天休假的機率為何？

(1) $\frac{1}{3}$    (2) $\frac{8}{21}$    (3) $\frac{3}{7}$    (4) $\frac{10}{21}$    (5) $\frac{11}{21}$

[107，學測，數學，單選3]

==解答==

命樣本空間$\Omega = \left\{ \left( \text{甲的休假日}, \text{乙的休假日} \right) \right\}$，將甲的休假日記為$ab$，當中$1 \leq a < b \leq 7$。乙也用類似的記法。於是$\Omega = \left\{ (ab, cd) | 1 \leq a < b \leq 7, 1 \leq c < d \leq 7 \right\}$，從而$n \left( \Omega \right) = {7 \choose 2} \times {7 \choose 2}$。

再設事件$A = \text{兩人在同一天休假}$。以集合來寫，即是$A = \left\{ (ab, cd) \in \Omega | \left\{a, b\right\} \cap \left\{c, d\right\} \neq \phi \right\}$。

如果要直接計算$n(A)$，並不好計算。因為要考慮幾種情況，例如兩人的休假日有可能兩天完全相同，也有可能只有一天相同。而若只有一天相同，則必須考慮比較複雜的分布情況。

基於這樣的理由，我們改為計算$n(A^c)$。

事件$A^c = \left\{ (ab, cd) \in \Omega | \left\{a, b\right\} \cap \left\{c, d\right\} = \phi \right\}$。我們先決定甲的休假日$ab$，然後再決定乙的休假日$cd$。在決定甲休假日$ab$時，可以從$1$到$7$中這$7$個數字任選出$2$個，因此有${7 \choose 2}$種選法。接著決定乙的休假日，由於必須滿足$\left\{ a, b \right\} \cap \left\{ c, d \right\} = \phi$，因此乙只能從$1$到$7$中剔除$a$與$b$後剩下的$5$天來選出$2$天，故有${5 \choose 2}$種選法。總結而論，$n(A^c) = {7 \choose 2} \times {5 \choose 2}$。

所以
$$\begin{eqnarray*} P(A) &=& 1 - P(A^c) \\ &=& 1 - \frac{{7 \choose 2} \times {5 \choose 2}}{{7 \choose 2} \times {7 \choose 2}}\\ &=& 1 - \frac{10}{21} \\ &=& \frac{11}{21} \end{eqnarray*}$$
答案選(5)。

(解答結束)

==評註==

幹嘛要用集合符號來寫？

搞這麼複雜，似乎在脫褲子放屁。

不！

一旦有辦法寫出集合，基本上就算是相當了解其中的結構，從而運算上可以避免「漏算」或是「重複」的情況。

所以我覺得，處理組合學問題，若能寫出集合就應該盡量寫出集合。

圓內最長的弦為直徑

• 以下參考書籍均為S. Lang, "Geometry (2nd ed)"。

先複習我們要使用的公設。

==公設==(DIST 2，距離基本公設2)

P. 8, Line 19

For any points P, Q, we have $d(P, Q) = d(Q, P)$.

[譯文]：

對於平面上任意兩點$P, Q$，恆有$d(P, Q) = d(Q, P)$。

==公設==(SEG，線段長度公設)

P. 9, Line 9

Let $P, Q, M$ be points. We have $d(P, M) = d(P, Q) + d(Q, M)$ if and only if $Q$ lies on the segment between $P$ and $M$.

[譯文]

設$P, Q, M$為(平面上)任意三點。關係式$d(P, M) = d(P, Q) + d(Q, M)$成立若且唯若$Q$在由$P$和$M$連成的線段上。

==定理==

圓內最長的弦為直徑。

==證明==

設圓心為$P$，半徑長為$r$。今任取圓上任意兩點$X$與$Y$，根據習題1.2.8 (P. 11)[或習題1.4.7 (P. 34)]，我們有
$$d(X, Y) \leq 2r.$$

請注意，$2r$正是直徑的長度。

$d(X, Y) \leq 2r$意味著圓上任意一條弦的長度必定不比直徑長。

然而我們要追問的是，如果一根弦的長度為$2r$，那麼這根弦必定是直徑嗎？

如今假定弦$\overline{XY}$的長度為$2r$，於是便有
$$\begin{eqnarray*} d(X, Y) &=& 2r \\ &=& r + r \\ &=& d(X, P) + d(Y, P) \end{eqnarray*}$$
根據公設DIST 2，得
$$d(X, Y) = d(X, P) + d(P, Y).$$
根據公設SEG，$P$必在線段$\overline{XY}$上。根據直徑的定義，線段$\overline{XY}$是直徑。

(證明終了)

圓盤是凸的

==定義==(凸性)

設$\Gamma$為平面上的非空點集，若對於$\Gamma$中的任意點$X, Y$恆有$\overline{XY} \subset \Gamma$，則稱$\Gamma$是「凸的」。

更形象化來說，就是如果圖形$\Gamma$中任意兩點所連成的線段都會完全地落在$\Gamma$裡頭，那麼就說$\Gamma$是凸的。

==定義==(圓盤Disc)

設$P$為平面上任意一點，$r$為任意正數。我們稱點集
$$D(P, r) = \left\{ X | d(X, P) \leq r \right\}$$
為以$P$為圓心、$r$為半徑長的圓盤(disc)。

==定理==

圓盤是凸的。

==證明==

設$X, Y$為圓盤$D(P, r)$中的任意兩點。

我們這裡只討論$X \neq Y$的情況，因為$X =Y$的情況是無聊的(trivial)。

根據圓盤的定義有$d(X, P) \leq r$以及$d(Y, P) \leq r$。

設$Z$為線段$\overline{XY}$上的任意一點。命$\lambda = \frac{\overline{XZ}}{\overline{XY}}$，於是$\lambda \in [0, 1]$，而$Z = X + \overrightarrow{XZ} = X + \lambda \overrightarrow{XY} = X + \lambda \left( Y - X \right) = (1 - \lambda) X + \lambda Y$。

於是
$$\begin{eqnarray*} d(Z, P) &=& d\left( (1 - \lambda) X + \lambda Y, P \right) \\ &\leq& d\left( (1 - \lambda) X + \lambda Y, \lambda Y + (1 - \lambda) P \right) + d\left( \lambda Y + (1 - \lambda) P , P \right) \\ &=& (1 - \lambda) d\left( X, P \right) + \lambda d(Y, P) \\ &\leq& (1 - \lambda) r + \lambda r\\ &=& r \\ \end{eqnarray*}$$

(證明終了)

三角不等式

==定理==(三角不等式)

若$a, b$為任意實數，則$|a+b| \leq |a| + |b|$。

==證明==

首先請注意，對於任意實數$r, s$恆有$r \leq |r|$以及$|r \cdot s| = |r| \cdot |s|$。

以下開始證明。

$$\begin{eqnarray*} |a+b| &=& \sqrt{(a+b)^2} \\ &=& \sqrt{a^2 + 2ab + b^2} \\ &\leq& \sqrt{|a|^2 + 2|a| \cdot |b| + |b|^2} \\ &=& \sqrt{\left( |a| + |b| \right)^2} \\ &=& \left| |a| + |b| \right| \\ &=& |a| + |b| \end{eqnarray*}$$

(證明終了)