假分式化真分式求最小值

 ==主旨==

利用假分式化為真分式的技巧，將目標函數化為易於處理的形式，再利用Cauchy不等式求出最小值。

==題目==

1. 回顧〈配方、Lagrange恆等式與Cauchy不等式〉一文的結論。
2. 設$f(x), g(x)$都是多項式，其中$g(x) \ne 0$，我們稱$\frac{f(x)}{g(x)}$為「分式」。當$\deg f(x) < \deg g(x)$時，我們稱$\frac{f(x)}{g(x)}$為真分式；當$\deg f(x) \ge \deg g(x)$時，我們稱$\frac{f(x)}{g(x)}$為假分式。我們可以利用多項式的除法，將假分式化為帶分式，也就是形如$h(x) + \frac{j(x)}{g(x)}$的式子，其中$h(x), j(x)$都是多項式，且$\deg j(x) < \deg g(x)$。試將以下各小題的假分式化為帶分式：
   (i)  $\frac{a^2 + 4}{a}$；
   (ii)  $\frac{b^2}{b+3}$。
3. 已知$a + b = 3$，證明$\frac{a^2 + 4}{a} + \frac{b^2}{b + 3} = \left( \frac{2}{\sqrt{a}} \right)^2 + \left( \frac{3}{\sqrt{b+3}} \right)^2$。
4. 若已知$a + b = 3$，試利用Cauchy不等式求出$\frac{a^2 + 4}{a} + \frac{b^2}{b + 3}$的最小值，以及相應的$a, b$取值。