今天上高二的課,學生很好奇大學數學系在學什麼,我隨口舉了抽象代數中環論的負負得正為例子。想起自己在YouTube上最早發的教學影片就是證明負負得正,不過一直沒有寫成文章。為了以後教學方便,今天就寫下來。
考慮具么環(ring with identity)R,下面證明所謂的負負得正:(−1)×(−1)=1。
(−1)×(−1)=(−1)×(−1)+0[0的定義]=(−1)×(−1)+[1+(−1)][加法反元素]=(−1)×(−1)+1+(−1)×1[1的定義]=(−1)×(−1)+(−1)×1+1[加法交換律]=[(−1)×(−1)+(−1)×1]+1[加法結合律]=(−1)×[(−1)+1]+1[分配律]=(−1)×0+1[加法反元素]=0+1[任何數乘以零還是零]=1[0的定義]
參考
Garrett Birkhoff, Saunders Mac Lane, A Survey of Modern Algebra (5th edn.), A K Peters/CRC Press, 1998
沒有留言:
張貼留言