==問題==
令溫度為T，壓力為p，體積為V，熵為S，根據熱力學公式dU=TdS−pdV(U為內能)dH=TdS+Vdp(H為焓)dF=−SdT−pdV(F為亥姆霍茲(Helmholtz)自由能)dG=−SdT+Vdp(G為吉布斯(Gibbs)自由能)
證明Maxwell關係式
(∂p∂S)V=−(∂T∂V)S,(∂V∂S)p=(∂T∂p)S(∂S∂V)T=(∂p∂T)V,(∂S∂p)T=−(∂V∂T)p
==解答==
由全微分(total differential)df=∂f∂xdx+∂f∂ydy.
對比
dU=TdS−pdV,dH=TdS+Vdp,dF=−SdT−pdV,dG=−SdT+Vdp.
可得
∂U∂S=T,∂U∂V=−p.∂H∂S=T,∂H∂p=V.∂F∂T=−S,∂F∂V=−p.∂G∂T=−S,∂G∂p=V.
於是∂p∂S=∂∂Sp=∂∂S(−∂U∂V)=−∂2U∂S∂V=−∂2U∂V∂S=−∂∂V(∂U∂S)=−∂∂VT=−∂T∂V,∂V∂S=∂∂SV=∂∂S(∂H∂p)=∂2H∂S∂p=∂2H∂p∂S=∂∂p(∂H∂S)=∂∂pT=∂T∂p,∂S∂V=∂∂VS=∂∂V(−∂F∂T)=−∂2F∂V∂T=−∂2F∂T∂V=−∂∂T(∂F∂V)=−∂∂T(−p)=∂p∂T,∂S∂p=∂∂pS=∂∂p(−∂G∂T)=−∂2G∂p∂T=−∂2G∂T∂p=−∂∂T(∂G∂p)=−∂∂TV=−∂V∂T.
(解答結束)
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