不定方程式$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$的正整數解

==問題==

求不定方程式$\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$的正整數解。

==解答==

$$\begin{align*} & \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ \Rightarrow & 12y - 12x = xy \\ \Rightarrow & xy + 12x - 12y = 0 \\ \Rightarrow & xy + 12x - 12y -144 = -144 \\ \Rightarrow & (x - 12)(y + 12) = -144 \\ \Rightarrow & (12 - x)(y + 12) = 144 \end{align*}$$
注意此時$12 - x$與$y + 12$必為同號整數，而因$y + 12$是正整數，所以$12 - x$為正整數。那麼$12 - x$與$y + 12$都是144的正因數，而且$12 - x$代表不超過12的因數。將144進行因數分解
$$\begin{align*} 144 & = & 1 \times 144 \\ & = & 2 \times 72 \\ & = & 3 \times 48 \\ & = & 4 \times 36 \\ & = & 6 \times 24 \\ & = & 8 \times 18 \\ & = & 9 \times 16 \end{align*}$$
因此$12 - x$只有可能為1, 2, 3, 4, 6, 8, 9，而$y + 12$只有可能為144, 72, 48, 36, 24, 18, 16。故所求的正整數解有$(x, y) = (11, 132), (10, 60), (9, 36), (8, 24), (6, 12), (4, 6), (3, 4)$。