不定方程式$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$的正整數解

==問題==

求不定方程式$\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$的正整數解。

==解答==

\begin{align*}
& \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\
\Rightarrow & 12y - 12x = xy \\
\Rightarrow & xy + 12x - 12y = 0 \\
\Rightarrow & xy + 12x - 12y -144 = -144 \\
\Rightarrow & (x - 12)(y + 12) = -144 \\
\Rightarrow & (12 - x)(y + 12) = 144
\end{align*}
注意此時$12 - x$與$y + 12$必為同號整數，而因$y + 12$是正整數，所以$12 - x$為正整數。那麼$12 - x$與$y + 12$都是144的正因數，而且$12 - x$代表不超過12的因數。將144進行因數分解
\begin{align*}
144 & = & 1 \times 144 \\
& = & 2 \times 72 \\
& = & 3 \times 48 \\
& = & 4 \times 36 \\
& = & 6 \times 24 \\
& = & 8 \times 18 \\
& = & 9 \times 16
\end{align*}
因此$12 - x$只有可能為1, 2, 3, 4, 6, 8, 9，而$y + 12$只有可能為144, 72, 48, 36, 24, 18, 16。故所求的正整數解有$(x, y) = (11, 132), (10, 60), (9, 36), (8, 24), (6, 12), (4, 6), (3, 4)$。