==問題==
f(x)與g(x)為任意函數,試證明u(a,t)=f(x+at)+g(x−at)
可看作是
∂2u∂t2=a2∂2u∂x2.
==解答==
∂∂tu(x,t)=∂∂t[f(x+at)+g(x−at)]=∂∂tf(x+at)+∂∂tg(x−at)=f′(x+at)⋅a+g′(x−at)⋅(−a)=af′(x+at)−ag′(x−at)∂2∂t2u(x,t)=∂∂t[∂∂tu(x,t)]=∂∂t[af′(x+at)−ag′(x−at)]=∂∂t[af′(x+at)]−∂∂t[ag′(x−at)]=a∂∂tf′(x+at)−a∂∂tg′(x−at)=af″(x+at)⋅a−ag″(x−at)⋅(−a)=a2[f″(x+at)+g″(x−at)]∂∂xu(x,t)=∂∂x[f(x+at)+g(x−at)]=∂∂xf(x+at)+∂∂xg(x−at)=f′(x+at)⋅1+g′(x−at)⋅1=f′(x+at)+g′(x−at)∂2∂x2u(x,t)=∂∂x[∂∂xu(x,t)]=∂∂x[f′(x+at)+g′(x−at)]=∂∂xf′(x+at)+∂∂xg′(x−at)=f″(x+at)⋅1+g″(x−at)⋅1=f″(x+at)+g″(x−at)∂2u∂t2=a2[f″(x+at)+g″(x−at)]=a2⋅∂2∂x2u(x,t).
(解答結束)
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