==問題==
x=ρcosφ,y=ρsinφ,試證∂2u∂x2+∂2u∂y2=∂2u∂ρ2+1ρ∂u∂ρ+1ρ2∂2u∂ϕ2.
==解答==
u=u(x,y)=u(ρcosφ,ρsinφ)。∂u∂ρ=∂u∂x∂(ρcosφ)∂ρ+∂u∂y∂(ρsinφ)∂ρ=∂u∂xcosφ+∂u∂ysinφ.
∂2u∂ρ2=∂∂ρ(∂u∂ρ)=∂∂ρ(∂u∂xcosφ+∂u∂ysinφ)=∂∂ρ(∂u∂xcosφ)+∂∂ρ(∂u∂ysinφ)=cosφ∂∂ρ∂u∂x+sinφ∂∂ρ∂u∂y=cosφ[∂∂x∂u∂x∂(ρcosφ)∂ρ]+sinφ[∂∂y∂u∂x∂(ρsinφ)∂ρ]=cosφ[∂2u∂x2cosϕ+∂2u∂y∂xsinφ]+sinφ[∂2u∂x∂ycosφ+∂2u∂y2sinφ]=∂2u∂x2cos2φ+∂2u∂y∂xcosφsinφ+∂2u∂x∂ysinφcosφ+∂2u∂y2sin2φ=∂2u∂x2cos2φ+∂2u∂x∂ycosφsinφ+∂2u∂x∂ycosφsinφ+∂2u∂y2sin2φ=∂2u∂x2cos2φ+2∂2u∂x∂ycosφsinφ+∂2u∂y2sin2φ.
∂u∂φ=∂u∂x∂(ρcosφ)∂φ+∂u∂y∂(ρsinφ)∂φ=∂u∂x(−ρsinφ)+∂u∂yρcosφ=−ρ∂u∂xsinφ+ρ∂u∂ycosφ.
∂2u∂φ2=∂∂φ(∂u∂φ)=∂∂φ(−ρ∂u∂xsinφ+ρ∂u∂ycosφ)=∂∂φ(−ρ∂u∂xsinφ)+∂∂φ(ρ∂u∂ycosφ)=−ρ∂∂φ(∂u∂xsinφ)+ρ∂∂φ(∂u∂ycosφ)=−ρ[(∂∂φ∂u∂x)sinφ+∂u∂x(∂∂φsinφ)]+ρ[(∂∂φ∂u∂y)cosφ+∂u∂y(∂∂φcosφ)]=−ρ{[∂∂x∂u∂x∂(ρcosφ)∂φ+∂∂y∂u∂x∂(ρsinφ)∂φ]sinφ+∂u∂x∂(sinφ)∂φ}+ρ{[∂∂x∂u∂y∂(ρcosφ)∂φ+∂∂y∂u∂y∂(ρsinφ)∂φ]cosφ+∂u∂y∂(cosφ)∂φ}=−ρ{[∂2u∂x2(−ρsinφ)+∂2u∂y∂xρcosφ]sinφ+∂u∂xcosφ}+ρ{[∂2u∂x∂y(−ρsinφ)+∂2u∂y2ρcosφ]cosφ+∂u∂y(−sinφ)}=∂2u∂x2ρ2sin2φ−∂2u∂y∂xρ2cosφsinφ−∂u∂xρcosφ−∂2u∂x∂yρ2sinφcosφ+∂2u∂y2ρ2cos2φ−∂u∂yρsinφ=∂2u∂x2ρ2sin2φ−∂2u∂x∂yρ2cosφsinφ−∂u∂xρcosφ−∂2u∂x∂yρ2cosφsinφ+∂2u∂y2ρ2cos2φ−∂u∂yρsinφ=∂2u∂x2ρ2sin2φ−2∂2u∂x∂yρ2cosφsinφ+∂2u∂y2ρ2cos2φ−∂u∂xρcosφ−∂u∂yρsinφ.
∂2u∂ρ2+1ρ∂u∂ρ+1ρ2∂2u∂ϕ2=(∂2u∂x2cos2φ+2∂2u∂x∂ycosφsinφ+∂2u∂y2sin2φ)+1ρ(∂u∂xcosφ+∂u∂ysinφ)+1ρ2(∂2u∂x2ρ2sin2φ−2∂2u∂x∂yρ2cosφsinφ+∂2u∂y2ρ2cos2φ−∂u∂xρcosφ−∂u∂yρsinφ)=∂2u∂x2cos2φ+2∂2u∂x∂ycosφsinφ+∂2u∂y2sin2φ+∂u∂x1ρcosφ+∂u∂y1ρsinφ+∂2u∂x2sin2φ−2∂2u∂x∂ycosφsinφ+∂2u∂y2cos2φ−∂u∂x1ρcosφ−∂u∂y1ρsinφ=∂2u∂x2cos2φ+∂2u∂y2sin2φ+∂2u∂x2sin2φ+∂2u∂y2cos2φ=(∂2u∂x2cos2φ+∂2u∂x2sin2φ)+(∂2u∂y2sin2φ+∂2u∂y2cos2φ)=∂2u∂x2(cos2φ+sin2φ)+∂2u∂y2(sin2φ+cos2φ)=∂2u∂x2⋅1+∂2u∂y2⋅1=∂2u∂x2+∂2u∂y2.
(解答結束)
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