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2018年10月13日 星期六

和達三樹《物理用數學》習題1.4.3,極座標下的Laplace算子(Laplacian)

==問題==

x=ρcosφ,y=ρsinφ,試證
2ux2+2uy2=2uρ2+1ρuρ+1ρ22uϕ2.

==解答==

u=u(x,y)=u(ρcosφ,ρsinφ)

uρ=ux(ρcosφ)ρ+uy(ρsinφ)ρ=uxcosφ+uysinφ.
2uρ2=ρ(uρ)=ρ(uxcosφ+uysinφ)=ρ(uxcosφ)+ρ(uysinφ)=cosφρux+sinφρuy=cosφ[xux(ρcosφ)ρ]+sinφ[yux(ρsinφ)ρ]=cosφ[2ux2cosϕ+2uyxsinφ]+sinφ[2uxycosφ+2uy2sinφ]=2ux2cos2φ+2uyxcosφsinφ+2uxysinφcosφ+2uy2sin2φ=2ux2cos2φ+2uxycosφsinφ+2uxycosφsinφ+2uy2sin2φ=2ux2cos2φ+22uxycosφsinφ+2uy2sin2φ.
uφ=ux(ρcosφ)φ+uy(ρsinφ)φ=ux(ρsinφ)+uyρcosφ=ρuxsinφ+ρuycosφ.
2uφ2=φ(uφ)=φ(ρuxsinφ+ρuycosφ)=φ(ρuxsinφ)+φ(ρuycosφ)=ρφ(uxsinφ)+ρφ(uycosφ)=ρ[(φux)sinφ+ux(φsinφ)]+ρ[(φuy)cosφ+uy(φcosφ)]=ρ{[xux(ρcosφ)φ+yux(ρsinφ)φ]sinφ+ux(sinφ)φ}+ρ{[xuy(ρcosφ)φ+yuy(ρsinφ)φ]cosφ+uy(cosφ)φ}=ρ{[2ux2(ρsinφ)+2uyxρcosφ]sinφ+uxcosφ}+ρ{[2uxy(ρsinφ)+2uy2ρcosφ]cosφ+uy(sinφ)}=2ux2ρ2sin2φ2uyxρ2cosφsinφuxρcosφ2uxyρ2sinφcosφ+2uy2ρ2cos2φuyρsinφ=2ux2ρ2sin2φ2uxyρ2cosφsinφuxρcosφ2uxyρ2cosφsinφ+2uy2ρ2cos2φuyρsinφ=2ux2ρ2sin2φ22uxyρ2cosφsinφ+2uy2ρ2cos2φuxρcosφuyρsinφ.
2uρ2+1ρuρ+1ρ22uϕ2=(2ux2cos2φ+22uxycosφsinφ+2uy2sin2φ)+1ρ(uxcosφ+uysinφ)+1ρ2(2ux2ρ2sin2φ22uxyρ2cosφsinφ+2uy2ρ2cos2φuxρcosφuyρsinφ)=2ux2cos2φ+22uxycosφsinφ+2uy2sin2φ+ux1ρcosφ+uy1ρsinφ+2ux2sin2φ22uxycosφsinφ+2uy2cos2φux1ρcosφuy1ρsinφ=2ux2cos2φ+2uy2sin2φ+2ux2sin2φ+2uy2cos2φ=(2ux2cos2φ+2ux2sin2φ)+(2uy2sin2φ+2uy2cos2φ)=2ux2(cos2φ+sin2φ)+2uy2(sin2φ+cos2φ)=2ux21+2uy21=2ux2+2uy2.
(解答結束)

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