和達三樹《物理用數學》習題2.3.3，Pauli矩陣

==問題==

令$\sigma_1 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right], \sigma_2 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right], \sigma_3 = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right]$，求證：
(i) $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$為Hermite矩陣。
(ii) $\sigma_1 \sigma_1 = I, \sigma_2 \sigma_2 = I, \sigma_3 \sigma_3 = I$。
(iii) $\sigma_1 \sigma_2 = i \sigma_3, \sigma_2 \sigma_3 = i \sigma_1, \sigma_3 \sigma_1 = i \sigma_2$。
$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$稱為Pauli矩陣。

==解答==

(i) 首先確認2階Hermite矩陣的形式。

設${\rm A} = \left[ \begin{array}{cc} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{array} \right]$，其中$z_{11}, z_{12}, z_{21}, z_{22} \in \mathbb{C}$。

若${\rm A}$為Hermite矩陣，則意味著${\rm A}$滿足
$${\rm A}^{\dagger} = {\rm A}.$$
其中${\rm A}^{\dagger} = \left( \left[ \begin{array}{cc} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{array} \right]^* \right)^{\rm T} = \left( \left[ \begin{array}{cc} \bar{z_{11}} & \bar{z_{12}} \\ \bar{z_{21}} & \bar{z_{22}} \end{array} \right] \right)^{\rm T} = \left[ \begin{array}{cc} \bar{z_{11}} & \bar{z_{21}} \\ \bar{z_{12}} & \bar{z_{22}} \end{array} \right]$，於是有
$$\left[ \begin{array}{cc} \bar{z_{11}} & \bar{z_{21}} \\ \bar{z_{12}} & \bar{z_{22}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{array} \right].$$
從而得到
$$\bar{z_{11}} = z_{11}, \bar{z_{21}} = z_{12}, \bar{z_{12}} = z_{21}, \bar{z_{22}} = z_{22}.$$
所以$z_{11}, z_{22}$皆為實數，而$z_{12}$與$z_{21}$互為共軛複數(因此實部相同)。

總結上述，我們可以得到：${\rm A} = \left[ \begin{array}{cc} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{array} \right]$為Hermite矩陣，若且唯若${\rm A}$形如
$${\rm A} = \left[ \begin{array}{cc} a & p+qi \\ p-qi & b \end{array} \right], a, b, p, q \in \mathbb{R}.$$
(主對角線元素為實數，副對角線元素為共軛複數對)

現在回頭來判定Pauli矩陣是否為Hermite矩陣。

顯然$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$都是Hermite矩陣。

(ii) 直接計算。

$\sigma_1 \sigma_1 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] = I.$

注意對矩陣$\left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right]$左乘$\sigma_1 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right]$的效果相當於「交換1st row與2nd row」，因此可以利用此性質立刻寫出$\sigma_1 \sigma_1$的乘積。

$\sigma_2 \sigma_2 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right] = i \left[ \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right] = i \left[ \begin{array}{cc} -i & 0 \\ 0 & -i \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} -i^2 & 0 \\ 0 & -i^2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] = I.$

這裡一樣使用了基本矩陣(Elementary matrix)的性質。對矩陣$\left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right]$左乘$\left[ \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right]$的效果相當於「先將2nd row的元素添上負號後，再與1st row交換」。

$\sigma_3 \sigma_3 = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -0 & -(-1) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] = I.$

這裡一樣使用了基本矩陣(Elementary matrix)的性質。對矩陣$\left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right]$左乘$\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right]$的效果相當於「將2nd row的元素添上負號」。

(iii) 與(ii)相同，直接計算，但一樣使用基本矩陣的性質來化簡計算量。

$\sigma_1 \sigma_2 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} i & 0 \\ 0 & -i \end{array} \right] = i \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] = i \sigma_3$。

$\sigma_2 \sigma_3 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] = i \left[ \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] = i \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] = i \sigma_1$。

$\sigma_3 \sigma_1 = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 0 & -i^2 \\ i^2 & 0 \end{array} \right] = i \left[ \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right] = i \sigma_2$。

(解答結束)

==附註==

維基百科關於Pauli矩陣的介紹：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%A1%E5%88%A9%E7%9F%A9%E9%99%A3

2018北韓 (北朝鮮)之旅，北韓高麗人蔘

第三天中午吃完李連貴燻肉大餅後 (好吃，另文再述)，我們就準備動身前往桃仙機場搭機到平壤了。

再前往機場的路上，中國導遊小齊在車上推銷了一些特色土產，其中就有我此行一個目標之一：北韓人蔘。

導遊拿出了一個紅色大鐵盒，原來這就是傳說中品質最好、等級最高的北韓人蔘！

北韓高麗人蔘，天10。盒上寫的「大聖牌」起先我以為是貿易進口商，後來才知道原來就是朝鮮官方公司名稱。

北韓高麗人蔘，天10

在鐵盒之中裝有一個小木盒，木盒裡頭裝有10支人蔘 (天10，天是指等級，10是指支數，目前天10是最高等級的高麗蔘)，那10支人蔘包裝於抽真空的透明塑膠袋中。

不知道是否為商業話術，導遊開始黑了北韓一波。

導遊說，高麗人蔘就是長這樣，到了朝鮮境內的人蔘商店，所賣的就是長這樣，紅色的大鐵盒，裏頭用木盒裝人蔘。但是，在朝鮮購買人蔘時，不能要求打開驗貨，就是得買一個完整的紅鐵盒回來，裏頭裝了什麼完全沒辦法確認。導遊強調，由於近年朝鮮觀光發展逐漸蓬勃了起來，對於人蔘的需求也成長了許多，這導致了朝鮮商家有時會不老實，明明盒子上寫著600克的人蔘，等級也是「天」級，但等到客人回到中國後開啟，裏頭卻不是那麼一回事，而那時也無法再向朝方追究。

聽到這兒，我心中略略一涼。

導遊又說，如果真要買人蔘，大家可以考慮從她這兒拿貨，她的貨基本上與朝鮮的相同等級。等到第八天要從瀋陽回台灣時再取貨，屆時可以現場驗貨，如果有任何不滿意，她可以直接退錢。

我心中估量了一下，認定這應該是比較好的方式。我相信價錢相去不遠，而可以驗貨這件事比較有保障一些。至少在朝鮮時，很多事情因為語言不通，即使有通中文的朝方導遊，也未必妥當。更重要的一點是，由於我是買來送禮的，可以用稍微比較低的成本取的禮物，也是划算。於是我便向小齊導遊訂了一盒。

其實在第五天的上午，我們參觀完板門店38度線後，就到開城參觀朝鮮最古老的大學：高麗成均館大學，其中就有兩間賣人蔘的商店。

成均館裏頭的商店，也是有賣人蔘。
人蔘、人蔘，到處都是人蔘！

成均館門口右側的人蔘商店。身穿傳統朝服的是店員。

成均館門口右側的人蔘商店裏頭的人蔘商品。右上方是朝鮮有名的香菸。

根據朝方導遊小趙的介紹，人蔘可以稱得上是最好的藥材。據說當年蘇聯車諾比核災後，曾將幾位受傷人員送來朝鮮開城醫治。本來醫師們都評估這些受傷人員活不了幾週，但是在朝方精心以人蔘照料下，這些人最後都活下來了。

故事的真假無從考證，姑且就記下來。

由於我在瀋陽買了人蔘，加上這趟出門我的預算相當有限，於是在開城時就沒有買任何商品，結果不消說人蔘商店裡的店員對我露出失望表情，就連出了商店後登上遊覽車，朝方的導遊也是面露失落。

唉，真不好意思，沒能幫他們完成偉大祖國交付的革命任務。

言歸正傳。回到瀋陽後，小齊扛著我們這團人買的商品出現在機場，太好了，我的錢沒有被她詐跑。

由於這盒人蔘是要送給老闆的，所以我不能開起來，失去了做一次開萬元商品的開箱影片的機會。以下幾張照片是我在瀋陽拿到貨後照的，聊備紀念。

我猜想購買人蔘的大宗是中國人與台灣人，所以盒外的包裝文字乾脆就做成朝、中雙語。

盒底有個鐵鑰匙，用來開啟鐵盒。酷，好像在玩古早版本的音樂盒玩具。

2018北韓 (北朝鮮)之旅，第三天，平壤機場入境

從瀋陽桃仙機場，搭乘JS256班機，約莫1小時就可以到達平壤。

從瀋陽到平壤的機票

平壤機場相當新，據維基百科的介紹，第二航廈於2015年建成，迄今不到三年。

在瀋陽登機後，高麗航空的空姐會發放：檢疫表、入境申報表。

由於高麗航空的空姐對於手機拍照都很敏感，察覺不對勁就會馬上過來，而且在機上會盯著旅客，所以我在機上沒有照相。

檢疫表與入境申報表上頭同時有朝鮮文與中文，按著上頭的指示填寫就可以。

檢疫表主要就是確認入境旅客的健康狀況，與台灣診所用藥過敏調查沒什麼兩樣。

入境申報表就比較複雜，要求填寫：出發地、出發日期、目的地、停留日期、入境目的、同行夥伴、攜帶外幣數量、工作地點、工作職稱等等。

如果不會寫也沒什麼關係，盡可能完成就好，等等再講不會寫的部分要怎麼辦。

飛機到達平壤機場後，下飛機。由於不可能照相(各國都差不多)，以下是我憑著印象畫出的入境動線。

平壤機場入境動線，二樓

剛入境時，除了老鳥(中國人、朝鮮人)外，台灣的旅客們幾乎都是第一次到北韓，每個人都挺緊張的。走進機場二樓開始，大家都變得蠻安靜的。

到了一樓，氣氛更緊張，因為要開始排隊入境，接受審核。一樓有相當多穿著正裝的軍官，讓人看了相當有壓力。

平壤機場入境動線，一樓

下樓梯後到入境櫃台排隊，手拿：中華民國護照、台胞證、朝鮮旅客卡、檢疫表、入境申報單。

入境櫃檯的辦事員都是軍官，走過去後，不用緊張，面帶微笑看著辦事員，並將所有東西呈上去，他會拿他所需要的部分，不需要的部分會放在旁邊。

辦事員首先以中文詢問我的姓名，端詳了一會，然後看我的申報單，見我沒有寫工作單位與職稱，便拿出筆客氣地要求我補上。可能因為我的職業是老師，所以補寫「鵬展文理補習班，數學老師」完給他看之後，沒幾秒鐘他就放我過關。(後來聽導遊說才知道老師這行業在朝鮮人心中很偉大)

接著向前走幾步路就到了行李轉盤。

機場軍官很多，他們會盯著你看。由於我的同行團員比較慢，我便在半路等待，沒有直接走到行李轉盤取行李。果不其然，有個軍官便走過來，客氣地用中文詢問我怎麼了。說明理由後，他也沒為難我，就讓我站著等待。

然後到行李轉盤取行李，這時準備要過安檢。

與中國的機場一樣，外套要脫下，手機、相機、電子產品、金屬物品都要放到背包裏頭過X光，人要過安全掃描門。

由於我帶了兩台相機，過X光掃描時，監控的軍官看我包包裏頭有兩個金屬物，便要求我打開包包讓他檢查。

在瀋陽時，瀋陽的中國導遊跟我們說，如果在平壤機場入境時遇到任何問題都不用緊張，因為機場人員都會中文，用中文溝通即可。但後來發現這句話不完全正確。

當時我的包包裡除了兩台相機(Sony Cyber-Shot DSC-HX30V、Sony $\alpha$-6000)外，還有家裡的鑰匙與遙控，全部都被要求倒出(自己倒)。可能是我的相機太老，軍官沒見過，他懷疑是連網工具。那名軍官的中文口音太重，我聽不懂，他又講了一遍，我還是聽不懂，結果他似乎有點脾氣上來，我這時緊張了起來，心裡開始有點慌了(這時沒有通中文的朝籍導遊在旁協助)。正當我不知所措之際，所幸他突然講了句我聽得懂的英文：「wifi？」。

我立刻意識到，我應該改用英文。我馬上用英文解釋那是兩台相機，其中看起來比較像是訊號發射器的那東西是鏡頭。這樣一講就說開了，軍官的臉色緩和了下來。

「Two Cameras？」他再度確認。

「Yes！」我口氣堅決地回答。

「OK」軍官拿了張單子，草草地在上頭記了我帶了兩台相機。

記完後，他便示意我可以裝上東西離開。

接著我便收好東西，向他道謝後，推著我的行李走出安檢櫃台，到入境大廳與團員會合。

整個過程蠻讓人心驚膽跳的，深怕立刻被遣返或是馬上被拖去槍斃。畢竟初到世人所稱的「流氓國家」，會發生什麼事都不知道。

2018北韓 (北朝鮮)之旅，第八天，凱旋門

參觀完「人民大學習堂」後，我們就出發到平壤順安機場。

途中經過了著名的凱旋門，用來紀念抗日作戰勝利，比巴黎那一座還高10公尺，真是浮誇。

正面。注意上頭的數字，1925，1945，意味著金日成開始投身對日抗戰的年份以及勝利的年份。不過根據維基百科的資料，金日成是否這麼早就投身抗戰，似乎仍是未解公案。

後面

我與凱旋門的合照

凱旋門旁邊就是牡丹峰，附近有金日成體育場，以及似乎有遊樂園。在金日成體育場那方向，有金日成凱軒歸來向民眾發表演說的大壁畫。

我與金日成演講壁畫的合照。由於時間很趕，加上拍照的人技巧很差，手震到相片蠻模糊的，是為遺憾之一。

拍完照後上車，就直奔平壤機場了。途中雖然基過了牡丹峰公園、電視廣播塔等幾個景點，不過因為我在遊覽車上坐的位置很不理想，同時導遊也沒有讓我們下車拍照，所以就沒有照片了。

2018北韓 (北朝鮮)之旅，第八天，人民大學習堂

人民大學習堂後門正面

北韓之行的最後一個景點是位於金日成廣場的「人民大學習堂」。「人民大學習堂」相當於台灣的中央圖書館、美國的國會圖書館，也就是北韓國內等級最高、藏書量最豐富的圖書館。除了圖書館的功能外，「人民大學習堂」還肩負著教育的功能，提供了各類藏書與諮詢，向所有人民開放。全年無休，每日早上八點開門，晚上六點關門。

維基百科對「人民大學習堂」的介紹：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%BA%E6%B0%91%E5%A4%A7%E5%AD%B8%E7%BF%92%E5%A0%82

人民大學習堂後入口右側

從人民大學習堂後大門往外拍的景觀

入口牆壁的浮雕

 進入後，映入眼簾的是金日成主席的大壁畫。

畫有金日成主席的大壁畫

我與大壁畫的合照

大壁畫右側台階

大壁畫左側台階

 我們跟著導遊從左側進入，再往右拐，走廊左邊是通到二樓的大樓梯。

大樓梯下方有已經半淘汰的檢書卡櫃，我剛進清大念書時(2008)，也曾見過類似的櫃子。

再繼續往前走幾步，左側是一個富麗堂皇的廳堂。

廳堂

 走廊右側的牆壁掛有金日成主席與金正日將軍巡視人民大學習堂的照片。

我與金日成主席與金正日將軍巡視人民大學習堂的照片的合照

 通向二樓的大樓梯上方，在兩個大石柱之間，有個壁鐘，背景應該是銅製的花紋，有種舊時代的華麗感。

拍攝時有點匆忙，略有手震而模糊。

 導遊 (紅衣)與講解人員 (精通英文)引領我們走向電梯，要到二樓去參觀。

 電梯相當古老，裏頭還有一位電梯小姐 (黑衣)負責操作。我想拍她正臉，但都給她技巧性地閃開。

 電梯裏頭沒有空調，裝的竟然是電風扇。國家圖書館的設備竟然如此簡陋，真是讓我感到相當詫異。所幸現在正是晚秋，天氣涼爽。如果是大熱天，整電梯的異味應該會讓人很難受。

值得留意的是天花板旁邊都還以流蘇裝飾，略有奢華感，但退色的流蘇給反映出時代的久遠

電梯上升地十分緩慢。到了二樓，講解員先帶我們看了流通櫃台。

出電梯後，左手邊牆上掛有一些圖書館的說明

流通櫃台，後方掛有金日成主席與金正日將軍巡視的照片

流通櫃台

流通櫃台有個特殊的輸送帶，我拍了影片，不過導遊沒特別講解輸送帶的運作方式。

影片中還可以看到導遊特意請館方工作人員從書庫拿出台灣的書，算是稍微用了心。

從流通櫃台看等等要走的方向：

牆上掛著圖書館的利用說明。

再繼續往前走，左邊有一間諮詢室，導遊說這是自然科學諮詢室，裏頭有博士提供諮詢。整個人民大學習堂有兩間諮詢室，一間就是這間在二樓的自然科學諮詢室，另外一間在一樓，提供社會科學諮詢，裏頭也是有博士服務。

在二樓的自然科學諮詢室

繼續往前走，在路底可看到座位區，以及許多正在看書的人。

從二樓的角度看一樓的廳堂。

然後我們往左拐，約莫走三十秒，右邊的房間是外文書籍 (主要是中文)閱覽室。

走廊

不管走到哪都看的到金氏父子的肖像。一開始覺得很新鮮，待到現在第八天，看了有點厭煩了。

擺放的方式與我們台灣的圖書館差不了多少

閱覽座位區

電腦查詢區

導遊給我們三分鐘的時間參觀書架。本來我以為在朝鮮這樣的國家，圖書館會是閉架，不過親眼看到卻是開架閱覽。因為時間有限，沒辦法把收藏的書都看個大概，也就只是看了幾排書櫃。我發現他們的書籍排放方式並非按著美國國會圖書館分類方法，而是有著自己的一套順序與邏輯。另外呢，他們的中文藏書量其實在我看來，以國家圖書館的層級而論，實在是相當稀少。

從中文藏書室出來後，返回搭電梯的路上又看到了銅製的花紋壁龕，相當的華麗。

接著我們搭電梯到最高樓的觀景台。電梯開門後，一個開著兩扇大門的房間迎接我們。

走進後才知道，原來又是紀念品販賣區。拚觀光拚到連國家圖書館的觀景台都要配置紀念品商店，讓我感到很訝異。

各種唱片與影片光碟。本來要買雜技影片，不過想到光碟機應該沒辦法讀取(?)，再加上手頭的現金不夠，只好打消念頭。

各種革命書籍。其中讓人相當意外的是，相當多書籍都是日文書籍。例如我本來動念要買一套《朝鮮全史》，書名是漢文，我便以為是漢文，打開才發現卻是日文。在此不得不說日本人做學問，尤其是歷史人文方面，大概稱得上是亞洲最好的。

除了革命書籍外，還有不少介紹領導的書籍，都是洗腦的書。印刷品質不高，大概跟台灣廟宇裡頭印發贈送的佛經差不多。

走出商店區，就到了觀景台。這裡可俯瞰整個金日成廣場！

俯瞰整個金日成廣場。

左側景觀

右側景觀

青色的屋瓦與白色的石柱，相當淡雅莊重。

拍完照後就差不多該下去集合了。離開前先在觀景台那一層樓上個廁所。

看起來還可以，環境也蠻乾淨的，就是老舊了一些。不過最糟的事又發生了：洗手台沒有自來水。要洗手還是一樣得用旁邊的水瓢舀水。想不到國家最高圖書館竟然設備是如此落後。

館內相當整齊乾淨，學習的人也挺多的。看的出來館方也是努力地跟上時代，例如設置了電腦查詢區。不過有些地方還是太陳舊了，例如電梯、廁所、以及一些硬體設施。回想我們清大的圖書館，不知道屌打人民大學習堂多少條街去了。金日成的發想是好的，要讓人民有好的學習資源。不過受限於整個政治制度，圖書館的發展終究無法與我們其他國家相比。