中垂線判別法

=中垂線判別法=

考慮$\overline{AB}$及一點$P$，若有$\overline{PA}=\overline{PB}$，則$P$必在$\overline{AB}$的中垂線上。

換句話說，若是某點與某線段的兩端點等距，則該線段的中垂線必定穿過某點。

=證明=

若$P$在$\overline{AB}$上，那麼$P$顯然是$\overline{AB}$的中點，當然也就會在$\overline{AB}$的中垂線上。這是一個極端trivial的情況。

以下討論$P$在$\overline{AB}$上的情況。

取$\overline{AB}$的中點為$M$，考慮$\triangle PAM$及$\triangle PBM$。由於$\overline{PA}=\overline{PB}, \overline{PM}=\overline{PM}, \overline{AM}=\overline{BM}$，所以$\triangle PAM \cong \triangle PBM$(SSS全等)。又$\overline{AM}$與$\overline{BM}$同在$\overline{AB}$上，所以有

$$\begin{eqnarray*} 90^{\circ} &=& \frac{1}{2} \times 180^{\circ} \\ &=& \frac{1}{2} \times (\angle PMA + \angle PMB) \\ &=& \frac{1}{2} \times (\angle PMA + \angle PMA) \\ &=& \frac{1}{2} \times 2 \angle PMA \\ &=& \angle PMA \end{eqnarray*}$$

所以$P, M$所決定之直線為$\overline{AB}$的中垂線(通過$\overline{AB}$的中點M，且與$\overline{AB}$垂直)。

(證明終了)