考慮$\overline{AB}$及一點$P$,若有$\overline{PA}=\overline{PB}$,則$P$必在$\overline{AB}$的中垂線上。
換句話說,若是某點與某線段的兩端點等距,則該線段的中垂線必定穿過某點。
=證明=
若$P$在$\overline{AB}$上,那麼$P$顯然是$\overline{AB}$的中點,當然也就會在$\overline{AB}$的中垂線上。這是一個極端trivial的情況。
以下討論$P$在$\overline{AB}$上的情況。
取$\overline{AB}$的中點為$M$,考慮$\triangle PAM$及$\triangle PBM$。由於$\overline{PA}=\overline{PB}, \overline{PM}=\overline{PM}, \overline{AM}=\overline{BM}$,所以$\triangle PAM \cong \triangle PBM$(SSS全等)。又$\overline{AM}$與$\overline{BM}$同在$\overline{AB}$上,所以有
\begin{eqnarray*}
90^{\circ}
&=& \frac{1}{2} \times 180^{\circ} \\
&=& \frac{1}{2} \times (\angle PMA + \angle PMB) \\
&=& \frac{1}{2} \times (\angle PMA + \angle PMA) \\
&=& \frac{1}{2} \times 2 \angle PMA \\
&=& \angle PMA
\end{eqnarray*}
所以$P, M$所決定之直線為$\overline{AB}$的中垂線(通過$\overline{AB}$的中點M,且與$\overline{AB}$垂直)。
(證明終了)
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