等線段作圖(複製線段)的檢討

摘要

本文先簡述尺規作圖中關於直尺與圓規的基本限制，而後對《幾何原本》（Euclid's Element）第1卷性質2「一直線，線或內、或外有一㸃，求以㸃為界，作直線與元線等。」回顧傳統作法，並給出我的一個作圖法。

1. 尺規作圖公理

本節內容主要引自維基百科Compass-and-straightedge construction條目。譯文與評註由我給出。

1.1 直尺的限制

[條目原文]
The straightedge is infinitely long, but it has no markings on it and has only one straight edge, unlike ordinary rulers. It can only be used to draw a line segment between two points or to extend an existing segment.

[譯文]
作圖的直尺具有無限長度，尺上並無任何刻度，而且整把尺只有一側是平整的，迥異於一般所見到的直尺。作圖的直尺只能畫出相異兩點之間的直線，或是延長已給線段。

[評註]
「整把尺只有一側是平整的」乍看有點奇怪，何必特意加上這個條件呢？事實上，我們一般所見到的直尺，長端的兩側是平行的！這個條件避免了作圖者利用一般直尺所具有的特徵來作出平行線。

1.2 圓規的限制

[條目原文]
The compass can be opened arbitrarily wide, but (unlike some real compasses) it has no markings on it. Circles can only be drawn starting from two given points: the centre and a point on the circle. The compass may or may not collapse when it's not drawing a circle.

[譯文]
圓規兩腳可以任意幅度張開，然而，在圓規上頭並無任何刻度(不若一些實際的圓規)。對於任給相異兩點，可以其中任意一點為圓心，而另一點為圓周上的一點來作出圓形。當作圖者未拿著用圓規作圖之時，圓規可能會收合起來，也有可能維持原狀而未收合。

[評註]
「當作圖者未拿著用圓規作圖之時，圓規可能會收合起來，也有可能維持原狀而未收合。」是一個重要的立論基礎。在原條目中，又有一段文字補充此句話：

The modern compass generally does not collapse and several modern constructions use this feature. It would appear that the modern compass is a "more powerful" instrument than the ancient collapsing compass. However, by Proposition 2 of Book 1 of Euclid's Elements, no power is lost by using a collapsing compass. Although the proposition is correct, its proofs have a long and checkered history.

(譯文：現代的圓規一般來說在未作圖的時候不會收合起來，所以有些現代的作圖法會利用此特性來作圖。事實上，相較於古代無法維持開合幅度而會收合起來的圓規，現代圓規是更具方便性的作圖工具。不過，根據Euclid《幾何原本》第1卷性質2，作圖時使用無法維持開合幅度而會收合起來的圓規並不會有任何影響，這一點的證明已在歷史上有著長久的討論與驗證) 

在單維彰教授寫給高中學生的補充教材〈尺規作圖複製長度〉[1]一文中，強調了「尺規作圖中所利用的圓規無法維持開合幅度而會收合起來」這樣的特性！單教授寫道：

有些教科書，要人張開圓規，將腳和筆分別對準一根直線段$\overline{AB}$的兩端點，把腳移去$C$點，畫出一點$D$，則得到與$\overline{AB}$等長的$\overline{CD}$線段。這就是所謂的『複製線段』。以今日製造圓規的技術，的確可以這樣複製線段。但是，這卻不是所謂的『尺規作圖』。尺規作圖是古希臘人定的規矩，你也可以將它視為一種智力上的遊戲規則。在實用上，當然不必固守古人的規矩。不過，如果要認真執行所謂的『尺規作圖』，當然就要認真地服從當初定下的遊戲規則。否則，就別說自己是在尺規作圖。

這樣的批評自然有其道理。我認為，從兩方面來看。若是考慮嚴格的數學論證，當然這樣的批評擲地有聲。然而，換個角度來看，就教育實務來說，有無必要在課堂上對這樣的細節進行討論，可能要視學生程度(興趣、數學成熟度)以及課程時數來決定。另外，由於大家都活在現代，打小長大，所見到的圓規都是「可以固定開合幅度」，強調「尺規作圖所用圓規無法維持開合幅度」或許對學生來說反而感覺怪異。所以數學嚴格性無法與教學現場相調和？我想未必。至少，在編輯教材之際，強調數學史，讓學生穿越時空回到古希臘時代，想像自己拿個古代鱉腳的圓規在雅典學院前討論數學，或許這樣浪漫的想像可以讓學生對尺規作圖這樣的「怪異限制」有所體會。更具體來說，我們或許可以考慮編寫兩種版本的教材，一種是詳盡的引導，如前所述，引入數學史，細緻而平緩的討論各種數學概念。另一種則是速食性質的教材，所謂食譜類型的，適用於對數學興趣不高或是理解力較弱的學生。

1.3 作圖公法

本小節引自中文維基百科【尺規作圖】。

以下是尺規作圖中可用的基本方法，也稱為作圖公法，任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法：

• 通過兩個已知點可作一直線。
• 已知圓心和半徑可作一個圓。
• 若兩已知直線相交，可求其交點。
• 若已知直線和一已知圓相交，可求其交點。
• 若兩已知圓相交，可求其交點。

2. 等線段作圖

2.1 傳統作法

以下引自單維彰教授的文章。

2.2 我的作法

我認為傳統的做法相當不容易想到，至少對我來說是如此。我看完整個證明，可以理解邏輯的正確性，然而，還是無法完全掌握其中的思考流程，尤其是一開始畫出正三角形，實在費解。

因此我個人構思了一個做法，自己認為比較直觀，而且符合教學現場中學生的預備知識。

 

2.3 檢討

我的想法，主要還是利用對稱性。至於要產生對稱性，自然就會想到作中垂線。這裡可能會被詬病的一點在於中垂線作圖在《幾何原本》中是後面的命題。但我是認為啦，在中學階段所學到的幾何，到底公理之中涵蓋了哪幾條，也就是我們到底可以從那些公理出發，才是問題的癥結點。畢竟學尺規作圖的時候，現行課綱還沒談到三角形全等。如果先已知三角形全等公理(SSS)，那麼我的這個做法也就大概沒什麼問題。

有任何問題歡迎各位朋友留言或寫信給我。

參考文獻

[1] 單維彰，尺規作圖複製長度，http://www.sanmin.com.tw/learning/science/highschool/math_text/p6.pdf