處理集合問題不一定只能用文氏圖：以106學測多選第12題為例

==問題==

某班級50位學生，段考國文、英文、數學及格的人數分別為45、39、34人，且英文及格的學生國文也都及格。現假設數學和英文皆及格的有$x$人，數學及格但英文不及格的有$y$人。請選出正確的選項。

(1) $x+y=39$

(2) $y \le 11$

(3) 三科中至少有一科不及格的學生有$39-x+y$人

(4) 三科中至少有一科不及格的學生最少有11人

(5) 三科中至少有一科不及格的學生最多有27人

==答案==

(2), (5)

==解答==

一般而言，這類題目標準手法就是使用文氏圖（Venn diagram），但本題如果使用文氏圖，例如下面，我認為是相對複雜的，一般學生畫不太出來，我自己也覺得難畫。

本題常見解答的文氏圖（來源：https://chu246.blogspot.com/2018/02/106.html）

我這裡提供一個畫數線的處理方法，或許某種程度來說相對更容易一些，供各位參考指教。

首先我們畫出一條橫線代表全班，在上頭標記50，表示全班共有50人。

接著對於國文、英文與數學三科，其中國文人數最多，而且人數是確定的，從而我們再繼續畫出第二條橫線來表示國文及格者，在上頭標記45，表示國文及格者共有45人。

上圖中紅色線段表示國文不及格者，共有5人。

接著來畫人數第二多的英文，注意由條件「英文及格的學生國文也都及格」，這意味著代表英文的橫線，其繪製範圍必然限制於國文的範圍之內，如下所示。

上圖中綠色線段表示國文及格且英文不及格者，共有6人。粉紅色線段為國文不及格與英文不及格者，共有5人。

最後來畫數學及格的橫線。注意數學與其他科並未有任何特殊關係，因此代表數學的線段可以在全範圍內移動，下圖中展示幾種可能性。

「數學和英文皆及格」與「數學及格但英文不及格」將代表數學的線段分為兩部分，我們現在將之畫出，其中用橘色表示「數學和英文皆及格」，人數為$x$；用紫色表示「數學及格但英文不及格」，人數為$y$。

現在來討論每個選項。

(1) ×：$x + y = 34$。

(2) ○：由圖可知。

(3) ×：「三科中至少有一科不及格的學生」＝「全班」－「三科全及格」＝$50-x$。

           這裡「三科全及格」，就是三條橫線「共同」涵蓋的部分，由上圖可知就是$x$。

(4) ×：$23 \le x \le 34 \Rightarrow 16 \le 39 - x \le 27$，所以「三科中至少有一科不及格的學生」最少16人。

(5) ○：見(4)之討論。

（解答終了）

三角函數疊合反推發生極值區間範圍的決定參數

==問題==

已知函數$y = f(x) = \sqrt{3} \sin \alpha x + \cos \alpha x$（$\alpha > 0$）的圖形在$- \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{3}$的範圍下，恰有一個最大值點與最小值點，則實數$\alpha$的範圍為何？

==解答==

首先對函數進行疊合，

$$y = f(x) = \sqrt{3} \sin \alpha x + \cos \alpha x = 2 \sin \left( \alpha x + \frac{\pi}{6} \right).$$

由$- \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{3}$得$\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha \pi}{4} \le \alpha x + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}$。令$\theta = \alpha x + \frac{\pi}{6}$，故原本的函數$f(x)$變為$g(\theta) = 2 \sin \theta$，其中$\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha \pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}$，且$g(\theta)$在$\left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha \pi}{4},  \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}\right]$中恰有一個最大值與最小值點。

關於$\theta$之範圍，可看成是以$\frac{\pi}{6}$為出發點，向左延伸$\frac{\alpha \pi}{4}$、向右延伸$\frac{\alpha \pi}{3}$。左右延伸量的長度比為$\frac{\alpha \pi}{4} : \frac{\alpha \pi}{3} = 3: 4$。注意向右延伸的長度比較長！

由上圖可知，在$\alpha$充分小時，$y = g(\theta)$在$\left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha \pi}{4},  \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}\right]$是嚴格遞增的。我們逐步增加$\alpha$的大小，在區間右端點達到$\frac{3\pi}{2}$時，$\alpha = 4$，這時區間左端點為$- \frac{5\pi}{6}$，但$g(\theta)$會在$\left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha \pi}{4},  \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}\right]$發生2次最小值，與題目條件矛盾。因此右端點$\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}$必須$< \frac{3\pi}{2}$，也就是有

$$\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3} < \frac{3\pi}{2},$$

得$\alpha < 4$。

綜上所述，本題答案為$0 < \alpha < 4$。

2022年9月16日文章〈一道式的運算題目〉的幾何另解

原題目如下

若三個非零實數$a, b, c$滿足$a+b+c=a^2+b^2+c^2=2$，則

$$\frac{(1-a)^2}{bc}+\frac{(1-b)^2}{2ca}+\frac{(1-c)^2}{3ab}$$

的值為何？

原解答請見我2022年9月16日的文章〈一道式的運算題目〉 。類似的題目也可參考我2021年1月10日的文章〈一道三變數的受約束極值問題〉。

以下是本題的幾何解答。

為敘述方便，將原題目的$a, b, c$依序替換為$x, y, z$。如2022年9月16日文章所言，兩個約束條件$x + y + z = 2$與$x^2 + y^2 + z^2 = 2$分別是三維空間中的平面與球，記為$E$與$S$。聯立考慮則為一個空間中的圓，設其圓心為$K$、半徑為$R$。

我們可以取平面$E$的法向量為$\overrightarrow{n} = (1, 1, 1)$。而$d(O, E) = \frac{|0 + 0 + 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3} \sqrt{3}$。由於$| \overrightarrow{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$，因此有$\overrightarrow{OK} = \frac{2}{3} \overrightarrow{n} = \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$，故$K$之座標為$\left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$。

由於球面$S$的半徑為$\sqrt{2}$，而$\overline{OK} = d(O, E) = \frac{2}{3} \sqrt{3}$，因此由商高定理有$R = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - \left( \frac{2}{3} \sqrt{3} \right)^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。

現在我們要取一個與法向量$\overrightarrow{n}$垂直的向量，從而這向量可經過適當的平移而完全落在平面$E$上。不難由內積的計算可取向量$\overrightarrow{a} = (1, 0, -1)$，其長度為$\sqrt{2}$。接著再取$\overrightarrow{b} = \overrightarrow{n} \times \overrightarrow{a} = (-1, 2, -1)$。從而$\overrightarrow{n}, \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$構成空間中的一組正交基。

接著我們重新調整向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的長度，使其長度恰好是$R = \frac{\sqrt{6}}{3}$。取向量$\overrightarrow{p} = \frac{\sqrt{3}}{3} \overrightarrow{a} = \left( \frac{\sqrt{3}}{3}, 0, -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)$，然後$\overrightarrow{q} = \frac{1}{3} \overrightarrow{b} = \left( -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right)$。

此時圓$K$之圓周上任一點$P$的座標均可表示為

$$P = K + \cos \theta \overrightarrow{p} + \sin \theta \overrightarrow{q}, \quad \theta \in [0, 2\pi].$$

具體寫出其每個座標分量為

$$\left\{ \begin{align*} &x = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cos \theta - \frac{1}{3} \sin \theta \\ &y = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \sin \theta \\ &z = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cos \theta - \frac{1}{3} \sin \theta \end{align*} \right. ,$$

將之代入所要計算的式子$\frac{(1-a)^2}{bc}+\frac{(1-b)^2}{2ca}+\frac{(1-c)^2}{3ab}$進行化簡，即可求出結果為$\frac{11}{6}$。

參考資料

[1] 〈Re: [幾何] 三維空間的圓〉https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1295717959.A.C88.html

[2] 一道三變數的受約束極值問題https://cosmicmathschool.blogspot.com/2021/01/blog-post.html