真的不宜評量嗎？

108課綱的高中數學課程，除了在高二的部分按照文、理組分為A、B兩版外，對於整整三年的課程安排架構，也打破了過去模塊式的章節安排。在這樣的情況之下，教師在進行評量時必須重新考慮所擬的題目是否符合學生當時所具備的知識，不能直接拿過去的陳題舊卷來使用。國家教育研究院出版的《12年國教數學領域課程手冊》中，除了對每條課綱進行解說外，也列舉了在評量方面不適宜的類型。實事求是，我們應該肯定國教院的用心，近乎手把手地指導第一線教師該如何教學與評量。然而，或許是集體工作的成果，手冊中的內容偶爾會出現不連貫的現象，顯而易見的理由應該是編撰者對於整套課程的設計並未瞭解透徹，部分規範文字在在顯示出編撰者想當然爾的樣貌，欠缺了現場教學的經驗，以致於將象牙塔中的想法硬是框到教學現場去，這顯然不是件好事。

以下茲舉一例作為討論。

在11年級A的課程內容中，條目F-11A-2正餘弦的疊合中，在「評量」欄目一處寫道：

撰寫此條目的作者如果要用三角函數的疊合來處理這道「不宜」的題目，猜想其作法大概是：令$\frac{1 - 6 \sin x}{3 + \cos x} = k$，然後整理為
$$k \cos x + 6 \sin x = 1 - 3k.$$
接下來利用疊合公式，可得
$$-\sqrt{k^2 + 36} \le 1 - 3k \le \sqrt{k^2 + 36}.$$
然後就可以找出$k$的最大值與最小值。（本作法感謝金門高中許淵智老師的討論指點）

然而，這道題目其實完全可以用高一所學的知識來處理。在10年級的課程內容中，有以下條目：
        G-10-2  直線方程式：涵蓋了「點到直線距離公式」。
        G-10-3  圓方程式
        G-10-4  直線與圓：涵蓋了「圓的切線方程式」。《手冊》在「教學斟酌」的欄目中稱
        「圓的參數式，依課程安排，講解極座標概念後，在適當處融入」。
        G-10-5  廣義角和極座標
所以，我們可以處理如下：
$$f(x) = \frac{1 - 6 \sin x}{3 + \cos x} = \frac{\frac{1}{6} - \sin x}{-3 - \cos x} \cdot (-6).$$
若取單位圓上的動點$P = (\cos x, \sin x)$，再取平面坐標上固定點$Q = \left( -3, \frac{1}{6} \right)$，於是
$$f(x) =  m_{\overline{PQ}} \cdot (-6).$$

由圖可看出
$$m_2 \le m_{\overline{PQ}} \le m_1,$$
其中$m_1, m_2$為過$Q$的切線的斜率。於是，我們假設切線方程式為$L: y - \frac{1}{6} = m(x + 3)$，再利用「點到直線距離公式」計算
$$d(O, L) = 1.$$
解出$m_1 = \frac{7}{24}, m_2 = \frac{-5}{12}$，得$(-6) \cdot \frac{-5}{12} \ge \frac{1 - 6 \sin x}{3 + \cos x} \ge (-6) \cdot \frac{7}{24}$，亦即所求最大值為$\frac{5}{2}$，最小值為$\frac{-7}{4}$。

以上的作法，充分的利用高一的知識，同時也展現了數形結合的美感。

這道題目雖然用三角函數疊合公式去求解可能略顯繁複，然而課程手冊直接安上「不宜」的標籤，我想不甚妥當，應該再補充指引本題適合放置的單元才是。