排列問題：申請資工系

==題目==

小華想念資工系，學測之後依照自己的分數列出7所大學的資工系，其中包含台大與清大，但依申請入學規定：一名考生只能申請5個科系。若小華自7所大學中，依照志願次序，填入其中5個，但台大與清大的資工系都不排在第四與第五志願，則排法有多少種？

==解答==

資工系：$c_1, c_2, c_3, c_4, c_5, c_6, c_7$。其中$c_1 =$台大，$c_2 =$清大。

用要報考的大學分類，有以下4種情況，每種情況的計算都是「先決定欲報考大學（組合），再進行志願排序（排列）」：

Case 1：沒有台大，且沒有清大

$${5 \choose 5} \times 5! = 1 \times 120 = 120.$$

Case 2：僅有台大，沒有清大

$${1 \choose 1} \times {5 \choose 4} \times {3 \choose 1} \times 4! = 1 \times 5 \times 3 \times 24 = 360.$$

Case 3：沒有台大，僅有清大

$${1 \choose 1} \times {5 \choose 4} \times {3 \choose 1} \times 4! = 1 \times 5 \times 3 \times 24 = 360.$$

Case 4：有台大，也有清大

$${2 \choose 2} \times {5 \choose 3} \times {3 \choose 1} \times {2 \choose 1} \times 3! = 1 \times 10 \times 3 \times 2 \times 6 = 360.$$

綜上所述，共有$120 + 360 + 360 + 360 = 1200$種。