排列問題：派遣老師到外縣市研習

==問題==

學校想從7名教師中選派4人分別到台北市、台中市、台南市及高雄市等四個縣市參加研習，其中甲不到台北市，乙不到高雄市，請問共有多少種派遣的方案？

==解答==

先決定派遣的老師（組合），再決定前往的縣市。

按照選到的老師，分成以下4種情況：

Case 1：沒有甲，也沒有乙

$${5 \choose 4} \times 4! = 5 \times 24 = 120.$$

Case 2：有甲，但沒有乙

$${1 \choose 1} \times {5 \choose 3} \times {3 \choose 1} \times 3! = 1 \times 10 \times 3 \times 6 = 180.$$

Case 3：沒有甲，但有乙

$${1 \choose 1} \times {5 \choose 3} \times {3 \choose 1} \times 3! = 1 \times 10 \times 3 \times 6 = 180.$$

Case 4：有甲，也有乙

首先決定老師：${2 \choose 2} \times {5 \times 2} = 1 \times 10 = 10$。

先針對這10種情況的其中1種討論。

命事件$A = \{ \text{甲排首} \}, B = \{ \text{乙排首} \}$。

所求為
$$\begin{eqnarray*} n(A' \cap B') &=& n[(A \cup B)'] \\ &=& n(U) - n(A \cup B) \\ &=& 4! - [n(A) + n(B) - n(A \cap B)] \\ &=& 24 - [1 \times 3! + 1 \times 3! - 1 \times 1 \times 2!] \\ &=& 24 - 6 - 6 + 2 \\ &=& 14. \end{eqnarray*}$$

所以Case 4共有$14 \times 10 = 140$種。

綜上所述，全部方法有$120 + 180 + 180 + 140 = 620$種。