2020年6月15日 星期一

排列問題:甲、乙、丙...等7人排成一列

==問題==

甲、乙、丙...等7人排成一列,甲、乙、丙任兩人皆不相鄰之排列數為$m$,甲、乙、丙皆不排首、末位之排列數為$n$,試求出$m, n$。

==解答==

人:$p_1, p_2, p_3, p_4, p_5, p_6, p_7$。

甲$= p_1$,乙$= p_2$,丙$= p_3$。

甲、乙、丙任兩人皆不相鄰之排列數的計算

先讓$p_4, p_5, p_6, p_7$排列,然後再讓$p_1, p_2, p_3$插空。

$$m = 4! \times {5 \choose 1} \times {4 \choose 1} \times {3 \choose 1} = 24 \times 5 \times 4 \times 3 = 1440.$$

甲、乙、丙皆不排首、末位之排列數的計算

空位□□□□□□□中,甲、乙、丙三人不可出現在首與末,所以只能在中間的5個位置出現。

$$n = {5 \choose 3} \times 3! \times 4! = 10 \times 6 \times 24 = 1440.$$

附註:感謝金門高中許淵智老師協助確認答案。

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