用反射法找出最短路徑

出處：Paul Lockhart, Measurement, Harvard University Press. Part 1, Section 25.

問題：Suppose two points lie between parallel lines. What is the shortest path from one to the other that hits both lines?

（中譯：假設有兩個點位於兩條平行線之間，請找出連接這兩點且經過兩條直線上各一點的最短路徑。）

解答

首先，為了描述方便，我們對圖上的線與點進行命名：

然後隨意在$L_1$與$L_2$上取兩個點$A$與$B$，並連接起來：

我們並不曉得$A, B$這兩個點是否滿足題目條件。將$P$點對$L_1$反射後得$P'$，將$Q$點對$L_2$反射後得$Q'$，同時也將路徑線段進行反射：

由反射的對稱性，此時有
$$\overline{PA} + \overline{AB} + \overline{BQ} = \overline{P'A} + \overline{AB} + \overline{BQ'}.$$
從圖可以看得出來，$\overline{P'A}, \overline{AB}, \overline{BQ'}$這三個線段所構成的路徑略顯歪曲，所以絕非最短路徑。

為取得最短直線路徑，我們可以連接$\overline{P'Q'}$：

此時設$\overline{P'Q'}$與$L_1$交於$C$，與$L_2$交於$D$，而$\overline{CD}$與$\overline{AB}$交於$K$：

根據「三角形兩邊和大於第三邊」的道理，顯然有
$$\begin{eqnarray*} \overline{P'A} + \overline{AB} + \overline{BQ'} &=& \left( \overline{P'A} + \overline{AK} \right) + \left( \overline{KB} + \overline{BQ'} \right) \\ &>& \overline{P'K} + \overline{KQ'} \\ &=& \overline{P'Q'}. \end{eqnarray*}$$
將路線反射回去到兩平行線之內，就得到

實線部分就是滿足題目所求的最短路徑。

整理：處理本題的步驟是

1. 將起點與終點對平行線反射。
2. 兩個反射點連接所得線段與本來平行線的交點就是所要求的點。