紅色球先取完的機率

昔から言うではありませんか。微分のことは微分でせよと

（漢譯：不是早就說過了嗎？有關微分的事用微分來做吧！）

高木貞治(1875-1960) 

=題目=

袋中有15球，6紅5黑4白，今天從中一次拿一顆球，取完不放回，取完為止。試問，紅球最先被拿完的機率為多少？

=答案=

\( \frac{14}{55} \)

=解析=

由於是依序取球，且取後不放回，並取完為止，所以樣本空間\( S \)之結構為排列。計算樣本空間\( S \)中所包含的樣本點個數：

\[ n(S) = \frac{15!}{6! 5! 4!} = 630630. \]

接著思考所謂紅球先被取完的意思，在此情況之下，最後一球必為黑球或是白球。

假定最後一顆球為黑球，那麼全部6顆紅球必然會出現在最後一顆白球之前。更具體來說，我們可以假設在第5顆黑球與第4顆白球之間有\( x \)顆黑球，然後在第4顆白球之前有6顆紅球、3顆白球以及\( 4 - x \)顆黑球，其中\( x \in \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} \)。亦即形如

6顆紅球、3顆白球、\( 4-x \)顆黑球  ｜  第4顆白球  ｜   \( x \)顆黑球  ｜  第5顆黑球

球的個數確認後，接著來計算排列數，於是這樣一共有

\[ \frac{13!}{6!3!4!} + \frac{12!}{6!3!3!} + \frac{11!}{6!3!2!} + \frac{10!}{6!3!1!} + \frac{9!}{6!3!} = 84084.  \]

接著再假定最後一顆球為白球，那麼全部6顆紅球必然會出現在最後一顆黑球之前。更具體來說，我們可以假設在第4顆白球與第5顆黑球之間有\( y \)顆黑球，然後在第5顆黑球之前有6顆紅球、4顆黑球以及\( 3 - y \)顆黑球，其中\( y \in \{ 0, 1, 2, 3 \} \)。亦即形如

6顆紅球、4顆黑球、\( 3-y \)顆白球  ｜  第5顆黑球  ｜   \( y \)顆白球  ｜  第4顆白球

球的個數確認後，接著來計算排列數，於是這樣一共有

\[ \frac{13!}{6!4!3!} + \frac{12!}{6!4!2!} + \frac{11!}{6!4!1!} + \frac{10!}{6!4!} = 76440.  \]

綜合以上計算結果，可知紅球先取完的機率為

\[ P = \frac{84084 + 76440}{630630} = \frac{14}{55}. \]

=附註=

本題是在臉書高中數學討論區見到的。蘭陽女中陳敏晧老師也曾在《HPM通訊》第十七卷第十期撰文〈如何計算紅球先取完的機率？〉討論。臉書網友的討論間或有謬誤，而陳老師的文章又稍嫌抽象。我在這邊給出一個直接的方法來處理，效果如何，尚待讀者先進批評指教。