一元二次方程式的公式解

考慮實係數一元二次方程式

$$ax^2 + bx + c = 0,$$

其中$a, b, c$ 皆為實數，且$a \ne 0$。

首先對等號左右兩端同乘以$4a$，即

$$4a \times (ax^2 + bx + c) = 4a \times 0,$$

由分配律有

$$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0,$$

然後

$$(2ax)^2 + 2 \cdot 2ax \cdot b + 4ac = 0,$$

移項得

$$(2ax)^2 + 2 \cdot 2ax \cdot b = -4ac,$$

然後等號左右兩端同加$b^2$，得

$$(2ax)^2 + 2 \cdot 2ax \cdot b + b^2 = b^2 - 4ac,$$

再利用和的平方公式進行因式分解得

$$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac.$$

假定$b^2 - 4ac \ge 0$，也就是等號右端的數$b^2 - 4ac$可以開方，於是

$$2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac},$$

再移項得

$$2ax = -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac},$$

再左右同除以$2a$得

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$

這便是一元二次方程式的公式解。

但如果$b^2 - 4ac < 0$，那麼引用複數的定義，公式解為

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{-(b^2 - 4ac)}i}{2a} = \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a}i.$$