多項式除法與極限問題

今天來解一道關於多項式除法、餘式，並結合極限概念的數學題。這類問題的關鍵在於理解多項式除法的基本原理，並應用極限的運算規則。

題目

令多項式 $2(x+1)^n$ 除以 $(3x-2)^n$ 的餘式為 $r_n$，試問極限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} r_n$ 之值為何？

答案

2

解題思路

這道題目主要的解題關鍵在於利用多項式除法原理。當被除式與除式的最高次項次數相同時，其商會是一個常數。

首先，我們令被除式為 $P(x) = 2(x+1)^n$，除式為 $D(x) = (3x-2)^n$。

根據多項式除法，我們可以將被除式寫成：

$$ P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R_n(x) $$

其中 $Q(x)$ 是商，而 $R_n(x)$ 是餘式。

接著，我們觀察被除式與除式的最高次項：

• $P(x)$ 的最高次項為 $2x^n$。
• $D(x)$ 的最高次項為 $(3x)^n = 3^n x^n$。

因為 $P(x)$ 和 $D(x)$ 的次數都是 $n$，所以商 $Q(x)$ 會是一個常數。這個常數的值等於兩者最高次項係數的比值：

$$ Q(x) = \frac{2}{3^n} $$

有了商，我們就可以推導出餘式 $R_n(x)$：

$$ R_n(x) = P(x) - Q(x) \cdot D(x) = 2(x+1)^n - \frac{2}{3^n}(3x-2)^n $$

題目中定義的 $r_n$ 是餘式的常數項（或解釋為餘式多項式代入 $x=0$ 的值）。因此，我們將 $x=0$ 代入 $R_n(x)$：

$$ r_n = R_n(0) = 2(0+1)^n - \frac{2}{3^n}(3 \cdot 0 - 2)^n $$

化簡上式：

$$ r_n = 2(1)^n - \frac{2}{3^n}(-2)^n = 2 - 2 \cdot \frac{(-2)^n}{3^n} = 2 - 2\left(-\frac{2}{3}\right)^n $$

最後一步，就是計算當 $n$ 趨近於無限大時 $r_n$ 的極限：

$$ \lim_{n \to \infty} r_n = \lim_{n \to \infty} \left[2 - 2\left(-\frac{2}{3}\right)^n\right] $$

由於 $\left|-\frac{2}{3}\right| < 1$，當 $n$ 趨近於無限大時，$\left(-\frac{2}{3}\right)^n$ 會趨近於 0。

所以，極限值為：

$$ \lim_{n \to \infty} r_n = 2 - 2 \cdot 0 = 2 $$

這就是最終的答案。