[111學測數A，多項式與二次函數] 不可能是\( y=g(x) \)圖形頂點的\( y \)座標

 =題目=

設\( f(x), g(x) \)皆為實係數多項式，其中\( g(x) \)是首項係數為正的二次式。已知\( \left( g(x) \right)^2 \)除以\( f(x) \)的餘式為\( g(x) \)，且\( y=f(x) \)的圖形與\( x \)軸無交點。試選出不可能是\( y=g(x) \)圖形頂點的\( y \)座標之選項。

(1) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

(2) 1

(3) \( \sqrt{2} \)

(4) 2

(5) \( \pi \)

=答案=

(1)

=詳解=

由於二次式\( y=g(x) \)的圖形為拋物線，故假設其頂點為\( (h, k) \)，從而可將\( g(x) \)的式子寫為\( y=a(x-h)^2+k \)，其中正數\( a \)為\( g(x) \)的首項係數。

接著再假設\( \left( g(x) \right)^2 \)除以\( f(x) \)的商式為\( q(x) \)，亦即有除法算式

\[ \left( g(x) \right)^2 \div f(x) = q(x)...g(x). \]

將之改寫為乘法算式為

\[ \left( g(x) \right)^2 = f(x) \cdot q(x) + g(x). \]

由於\( g(x) \)是二次式，所以\( \left( g(x) \right)^2 \)為四次式。另外因為除法餘式的次數必小於除式的次數，從而除式\( f(x) \)的次數為三次或四次。

但如果\( f(x) \)的次數為三次，那麼其圖形\( y=f(x) \)必會與\( x \)軸有交點，和題目條件矛盾。所以\( f(x) \)的次數必為四次。

再看回除法算式\( \left( g(x) \right)^2 = f(x) \cdot q(x) + g(x) \)，既然\( \left( g(x) \right)^2 \)為四次、\( f(x) \)為四次，那麼商式\( q(x) \)一定是（非零）常數，設為\( A \)。重新改寫乘法算式得

\[ \left( g(x) \right)^2 = f(x) \cdot A + g(x). \]

然後移項得

\[ \begin{align*}f(x) \cdot A &= \left( g(x) \right)^2 - g(x) \\ &= g(x)[g(x) - 1] \\ &= [a(x-h)^2 + k][a(x-h)^2 + (k-1)]. \end{align*} \]

因此

\[ f(x) = \frac{1}{A}[a(x-h)^2 + k] [a(x - h)^2 + (k-1)]. \]

由於\( y=f(x) \)的圖形與\( x \)軸無交點，因此對於任意實數\( x \)而言，\( a(x-h)^2 + k \)與\( a(x - h)^2 + (k-1) \)都不等於0。又已知平方項係數為正之二次函數圖形必開口向上，從而\( a(x-h)^2 + k \)與\( a(x - h)^2 + (k-1) \)都恆正。

由\( a(x - h)^2 + k \)恆正可知\( k>0 \)。

由\( a(x - h)^2 + (k-1) \)恆正可知\( k-1>0 \)，即\( k>1 \)。

綜上所述得\( k>1 \)。所以選(1)、(2)。

（解答終了）