[111學測數A，多項式與二次函數] 不可能是$y=g(x)$圖形頂點的$y$座標

 =題目=

設$f(x), g(x)$皆為實係數多項式，其中$g(x)$是首項係數為正的二次式。已知$\left( g(x) \right)^2$除以$f(x)$的餘式為$g(x)$，且$y=f(x)$的圖形與$x$軸無交點。試選出不可能是$y=g(x)$圖形頂點的$y$座標之選項。

(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) 1

(3) $\sqrt{2}$

(4) 2

(5) $\pi$

=答案=

(1)

=詳解=

由於二次式$y=g(x)$的圖形為拋物線，故假設其頂點為$(h, k)$，從而可將$g(x)$的式子寫為$y=a(x-h)^2+k$，其中正數$a$為$g(x)$的首項係數。

接著再假設$\left( g(x) \right)^2$除以$f(x)$的商式為$q(x)$，亦即有除法算式

$$\left( g(x) \right)^2 \div f(x) = q(x)...g(x).$$

將之改寫為乘法算式為

$$\left( g(x) \right)^2 = f(x) \cdot q(x) + g(x).$$

由於$g(x)$是二次式，所以$\left( g(x) \right)^2$為四次式。另外因為除法餘式的次數必小於除式的次數，從而除式$f(x)$的次數為三次或四次。

但如果$f(x)$的次數為三次，那麼其圖形$y=f(x)$必會與$x$軸有交點，和題目條件矛盾。所以$f(x)$的次數必為四次。

再看回除法算式$\left( g(x) \right)^2 = f(x) \cdot q(x) + g(x)$，既然$\left( g(x) \right)^2$為四次、$f(x)$為四次，那麼商式$q(x)$一定是（非零）常數，設為$A$。重新改寫乘法算式得

$$\left( g(x) \right)^2 = f(x) \cdot A + g(x).$$

然後移項得

$$\begin{align*}f(x) \cdot A &= \left( g(x) \right)^2 - g(x) \\ &= g(x)[g(x) - 1] \\ &= [a(x-h)^2 + k][a(x-h)^2 + (k-1)]. \end{align*}$$

因此

$$f(x) = \frac{1}{A}[a(x-h)^2 + k] [a(x - h)^2 + (k-1)].$$

由於$y=f(x)$的圖形與$x$軸無交點，因此對於任意實數$x$而言，$a(x-h)^2 + k$與$a(x - h)^2 + (k-1)$都不等於0。又已知平方項係數為正之二次函數圖形必開口向上，從而$a(x-h)^2 + k$與$a(x - h)^2 + (k-1)$都恆正。

由$a(x - h)^2 + k$恆正可知$k>0$。

由$a(x - h)^2 + (k-1)$恆正可知$k-1>0$，即$k>1$。

綜上所述得$k>1$。所以選(1)、(2)。

（解答終了）