一道平面幾何的圓的問題

=題目=

如圖，已知兩平行線$L_1, L_2$與圓$\Gamma$交於$A, B, C, D$四點，連接$\overline{AD}, \overline{BC}$交於$P$點，且$\angle BPD = 45^\circ$。若直線$L_1$平分圓$\Gamma$的面積，則$\Delta ABP$的面積為$\Delta CDP$面積的幾倍？

=答案=

2倍

=詳解=

由於$L_1$平分$\Gamma$的面積，所以$\overline{AB}$為直徑。

由於$\angle ABC$與$\angle ADC$皆為圓周角，且都夾$\overparen{AC}$，所以$\angle ABC = \angle ADC$。又$\angle APB$與$\angle CPD$為對頂角，所以$\angle APB = \angle CPD$。因此$\Delta APB \sim \Delta CPD$。

過$P$做直線$L_3 \parallel \overline{AB}$，則由平行線內錯角相等可知$45^\circ = \angle ABP + \angle CDP (= 2\angle ABP = 2\angle CDP )$，即$\angle ABP = \frac{45^\circ}{2}$。

自$P$向$\overline{AB}$與$\overline{CD}$作垂線，設垂足分別為$M$與$N$。連接$\overline{AC}$，注意$\angle BCA = 90^{\circ}$。

假設圓$\Gamma$半徑長1。於是便可寫出$\overline{MB} = 1, \overline{PB} = \frac{1}{\cos 22.5^\circ}$。

再假設$\overline{PD}$是$\overline{PB}$的$k$倍。於是$\overline{PN} = k, \overline{PD} = \frac{k}{\cos 22.5^\circ}$。由於$\Delta PCD$是等腰三角形，其中$\overline{PC} = \overline{PD}$，所以$\overline{PC} = \frac{k}{\cos 22.5^\circ}$。

在$\Delta ABC$中，利用銳角三角函數的定義有

$$\frac{\frac{1}{\cos 22.5^\circ} + \frac{k}{\cos 22.5^\circ}}{2} = \cos 22.5^\circ.$$

整理得

$$\frac{k+1}{2 \cos 22.5^\circ} = \cos 22.5^\circ.$$

於是再利用半角公式得

$$k = 2 \cos^2 22.5^\circ - 1 = 2 \times \frac{1 + \cos 2 \times 22.5^\circ}{2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

這表示$\Delta PBA$與$\Delta PCD$邊長比為$1: \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}: 1$，從而面積比為$(\sqrt{2})^2: 1^2 = 2: 1$。

（解答終了）