一道平面幾何的圓的問題

=題目=

如圖，已知兩平行線\( L_1, L_2 \)與圓\( \Gamma \)交於\( A, B, C, D \)四點，連接\( \overline{AD}, \overline{BC} \)交於\( P \)點，且\( \angle BPD = 45^\circ \)。若直線\( L_1 \)平分圓\( \Gamma \)的面積，則\( \Delta ABP \)的面積為\( \Delta CDP \)面積的幾倍？

=答案=

2倍

=詳解=

由於\( L_1 \)平分\( \Gamma \)的面積，所以\( \overline{AB} \)為直徑。

由於\( \angle ABC \)與\( \angle ADC \)皆為圓周角，且都夾\( \overparen{AC} \)，所以\( \angle ABC = \angle ADC \)。又\( \angle APB \)與\( \angle CPD \)為對頂角，所以\( \angle APB = \angle CPD \)。因此\( \Delta APB \sim \Delta CPD \)。

過\( P \)做直線\( L_3 \parallel \overline{AB} \)，則由平行線內錯角相等可知\( 45^\circ = \angle ABP + \angle CDP (= 2\angle ABP = 2\angle CDP ) \)，即\( \angle ABP = \frac{45^\circ}{2} \)。

自\( P \)向\( \overline{AB} \)與\( \overline{CD} \)作垂線，設垂足分別為\( M \)與\( N \)。連接\( \overline{AC} \)，注意\( \angle BCA = 90^{\circ} \)。

假設圓\( \Gamma \)半徑長1。於是便可寫出\( \overline{MB} = 1, \overline{PB} = \frac{1}{\cos 22.5^\circ} \)。

再假設\( \overline{PD} \)是\( \overline{PB} \)的\( k \)倍。於是\( \overline{PN} = k, \overline{PD} = \frac{k}{\cos 22.5^\circ} \)。由於\( \Delta PCD \)是等腰三角形，其中\( \overline{PC} = \overline{PD} \)，所以\( \overline{PC} = \frac{k}{\cos 22.5^\circ} \)。

在\( \Delta ABC \)中，利用銳角三角函數的定義有

\[ \frac{\frac{1}{\cos 22.5^\circ} + \frac{k}{\cos 22.5^\circ}}{2} = \cos 22.5^\circ. \]

整理得

\[ \frac{k+1}{2 \cos 22.5^\circ} = \cos 22.5^\circ. \]

於是再利用半角公式得

\[ k = 2 \cos^2 22.5^\circ - 1 = 2 \times \frac{1 + \cos 2 \times 22.5^\circ}{2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

這表示\( \Delta PBA \)與\( \Delta PCD \)邊長比為\( 1: \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}: 1 \)，從而面積比為\( (\sqrt{2})^2: 1^2 = 2: 1 \)。

（解答終了）