一道帶參數的有理分式不等式

=題目=

已知對於任意實數$x$，不等式$\frac{2x^2 + 2kx + k}{4x^2 + 6x + 3} < 1$恆成立，試求實數$k$的範圍。

=答案=

$1 < k < 3$

=詳解=

遇到分式不等式，必須移項，使一邊變為0，然後再用分子分母同號或異號去求解。所以原本的不等式先變形為

$$\frac{2x^2 + 2kx + k}{4x^2 + 6x + 3} - 1 < 0.$$

接著化簡不等式左端的式子，

$$\frac{2x^2 + 2kx + k}{4x^2 + 6x + 3} - 1 = \frac{2x^2 + 2kx + k}{4x^2 + 6x + 3} - \frac{4x^2 + 6x + 3}{4x^2 + 6x + 3} = \frac{-2x^2 + (2k - 6)x + (k - 3)}{4x^2 + 6x + 3}.$$

從而不等式變為

$$\frac{-2x^2 + (2k - 6)x + (k - 3)}{4x^2 + 6x + 3} < 0.$$

分子除以分母為負，表示分子與分母必然異號，從而相乘的結果也必定為負。另外分母不可為0，所以我們轉而考慮以下的聯立不等式

$$\left\{ \begin{align*} &[-2x^2 + (2k - 6)x + (k - 3)](4x^2 + 6x + 3)<0 \\ &4x^2 + 6x + 3 \ne 0 \end{align*}.  \right.$$

分析分母$4x^2 + 6x + 3$，此為二次式，平方項係數為正，且判別式為$6^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 < 0$，所以恆正。

從而不等式$[-2x^2 + (2k - 6)x + (k - 3)](4x^2 + 6x + 3)<0$可化為

$$-2x^2 + (2k - 6)x + (k - 3) < 0.$$

（我們可以直接去掉不等式中的恆正因子而不用考慮是否需要變號）

為方便計算，將式子中的正負號變號，化為

$$2x^2 - (2k - 6)x - (k - 3) > 0.$$

這表示二次式$2x^2 - (2k - 6)x - (k - 3)$恆正。由於其中平方項係數為2，是正數，所以我們只需再確認判別式為負即可。

$${\text{判別式}}  = [-(2k-6)]^2 - 4 \cdot 2 \cdot [-(k-3)] < 0.$$

展開整理得

$$k^2 - 4k + 3 < 0.$$

然後再因式分解得

$$(k-3)(k-1) < 0.$$

便解出

$$1 < k < 3.$$

（解答終了）