問題
令A(n)表示命題n∑r=1r=(2n+1)28。
(a) 證明對整數k≥1,由A(k)可得A(k+1)。
(b) 試說明為什麼命題「由歸納法可知對所有n≥1,A(n)為真」不成立。
(c) 將A(n)中的等號改為一個不等號,使得對所有n≥1,A(n)都為真。
解答
(a) 假定命題A(k)正確,亦即有
k∑r=1r=(2k+1)28.
那麼
k+1∑r=1r=k∑r=1r+(k+1)=(2k+1)28+k+1[假設]=4k2+4k+18+8k+88=4k2+12k+98=(2k+3)28=[2(k+1)+1]28
於是命題A(k+1)成立。
(b) 對於n=1,1∑r=1r=1<98=(2⋅1+1)28,所以A(1)不成立,因此無法由歸納法證明對所有n≥1,A(n)為真。
(c) 由(b)的計算,應該將命題A(n)修改為
n∑r=1r<(2n+1)28.
以下用歸納法證明修改後的命題A(n)對所有整數n≥1成立。
n=1時,見(b)之計算,可知命題成立。
設命題在n−1時成立,即有
n−1∑r=1r<[2(n−1)+1]28.
n時,
n∑r=1r=n−1∑r=1r+n<[2(n−1)+1]28+n[歸納假設]=4n2−4n+18+8n8=4n2+4n+18=(2n+1)28
故由數學歸納法得證。
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