Processing math: 100%

2018年4月30日 星期一

Apostol Linear Algebra Exercise 0.13.3

問題


A(n)表示命題nr=1r=(2n+1)28

(a) 證明對整數k1,由A(k)可得A(k+1)

(b) 試說明為什麼命題「由歸納法可知對所有n1A(n)為真」不成立。

(c) 將A(n)中的等號改為一個不等號,使得對所有n1A(n)都為真。

解答


(a) 假定命題A(k)正確,亦即有
kr=1r=(2k+1)28.
那麼
k+1r=1r=kr=1r+(k+1)=(2k+1)28+k+1[假設]=4k2+4k+18+8k+88=4k2+12k+98=(2k+3)28=[2(k+1)+1]28
於是命題A(k+1)成立。

(b) 對於n=11r=1r=1<98=(21+1)28,所以A(1)不成立,因此無法由歸納法證明對所有n1A(n)為真。

(c) 由(b)的計算,應該將命題A(n)修改為
nr=1r<(2n+1)28.

以下用歸納法證明修改後的命題A(n)對所有整數n1成立。

n=1時,見(b)之計算,可知命題成立。

設命題在n1時成立,即有
n1r=1r<[2(n1)+1]28.

n時,
nr=1r=n1r=1r+n<[2(n1)+1]28+n[歸納假設]=4n24n+18+8n8=4n2+4n+18=(2n+1)28
故由數學歸納法得證。

沒有留言:

張貼留言