問題
對所有整數n≥1,用歸納法證明下列公式:
(a) n∑k=1k=n(n+1)2;
(b) n∑k=1k3=(n∑k=1k)2。
解答
(a) n=1時,1∑k=1k=1=1(1+1)2,是以命題成立。
設命題在n−1時成立,也就是有
n−1∑k=1k=(n−1)[(n−1)+1]2.
n時,
n∑k=1k=n−1∑k=1k+n=(n−1)[(n−1)+1]2+n[歸納假設]=(n−1)n2+2n2=n2−n+2n2=n2+n2=n(n+1)2
故由數學歸納法得證。
(證明終了)
(b) n=1時,1∑k=1k3=13=1=12=(1∑k=1k)2,是以命題成立。
設命題在n−1時成立,即有
n−1∑k=1k3=(n−1∑k=1k)2.
n時,
n∑k=1k3=n−1∑k=1k3+n3=(n−1∑k=1k)2+n3[歸納假設]=[(n−1)[(n−1)+1]2]2+n3[習題0.13.1(a)]=(n−1)2⋅n222+4n322=n4−2n3+n2+4n322=n4+2n3+n222=n2(n2+2n+1)22=n2(n+1)222=[n(n+1)2]2=(n∑k=1k)2[習題0.13.1(a)]
故由數學歸納法得證。
(證明終了)
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