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2018年4月30日 星期一

Apostol Linear Algebra Exercise 0.13.1

問題


對所有整數n1,用歸納法證明下列公式:

(a) nk=1k=n(n+1)2

(b) nk=1k3=(nk=1k)2

解答


(a) n=1時,1k=1k=1=1(1+1)2,是以命題成立。

設命題在n1時成立,也就是有
n1k=1k=(n1)[(n1)+1]2.

n時,
nk=1k=n1k=1k+n=(n1)[(n1)+1]2+n[歸納假設]=(n1)n2+2n2=n2n+2n2=n2+n2=n(n+1)2
故由數學歸納法得證。

(證明終了)

(b) n=1時,1k=1k3=13=1=12=(1k=1k)2,是以命題成立。

設命題在n1時成立,即有
n1k=1k3=(n1k=1k)2.

n時,
nk=1k3=n1k=1k3+n3=(n1k=1k)2+n3[歸納假設]=[(n1)[(n1)+1]2]2+n3[習題0.13.1(a)]=(n1)2n222+4n322=n42n3+n2+4n322=n4+2n3+n222=n2(n2+2n+1)22=n2(n+1)222=[n(n+1)2]2=(nk=1k)2[習題0.13.1(a)]
故由數學歸納法得證。

(證明終了)

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