代數入門
第1章 數的演化
7. 複數
7.1 虛數
從自然數開始，一路將數的世界擴展到整數、有理數，直到實數，我們便能與直線上的點建立起一一對應的關係。這意味著所有連續的量都可以用實數來表示。因此，研究連續量的連續變化的微積分學，正是在實數的世界裡才得以全面展開。所以，也可以說，將數的世界擴展到實數就已經足夠，沒有必要再進一步擴展了。
然而，僅有實數的世界仍然過於狹窄。因為在實數的世界裡，還不能保證所有代數方程式都能完全求解。
我們已經知道，在二次方程式中，存在著沒有實數根（解）的方程式。在這類二次方程式中，最簡單的莫過於：
任何實數——無論是正、是負、還是0——其平方都不可能是負數。因此
絕不可能等於0。也就是說，二次方程式 $x^2 + 1 = 0$ 在實數範圍內沒有根。
因此，我們大可以說「這個二次方程式無解」，然後就此打住。然而，數學這門學問卻朝著另一個方向發展。那就是擴展數的世界，使得在那個被擴展的數世界裡，「所有二次方程式都有根」。
那麼，$x^2 + 1 = 0$ 的根會是什麼樣的數呢？
如果
那麼
所以，x 是一個平方後會等於 -1 的數。這樣的數並不是實數，因此我們稱之為虛數。
虛數的意義
那麼 -1 到底是個什麼樣的數呢？讓我們來看看將任意實數乘以 -1 會變成什麼樣的數。
$0 \times (-1) = 0$
$(+2) \times (-1) = -2$
$(+3) \times (-1) = -3$
$(-2) \times (-1) = +2$
$(-3) \times (-1) = +3$
也就是說，我們可以看出 $\times (-1)$ 這個運算，具有將任意實數變為其反數的作用。當然，0 乘以 -1 還是 0。
從幾何的角度來看，這無非是將數線以 0 為中心旋轉 $180^{\circ}$。
圖1-14
然而，因為 $x^2 = -1$，如果我們將這樣的 x 寫作 $i$，那麼 $\times (-1)$ 就是 $\times i^2$，也就是 $\times i \times i$。如果 $\times i$ 代表某個角度的旋轉，那麼連續進行兩次這樣的旋轉，應該就要等於 $\times (-1)$，也就是旋轉 $180^{\circ}$。這樣的旋轉，不用說，自然是旋轉 $90^{\circ}$。
也就是說，我們認為：
$\times (-1) \implies 180^{\circ}$ 旋轉
$\times i \implies 90^{\circ}$ 旋轉
這樣想的話：
$(+1) \times i = +1i$
$(+2) \times i = +2i$
$(-1) \times i = -1i$
$(-2) \times i = -2i$
就會如圖1-15所示，$+1i, +2i, \dots, -1i, -2i, \dots$ 這些數會排列在一條與實數線垂直的直線上。
圖1-15
也就是說，相對於 1 是水平線上的單位，可以認為 $i$ 是鉛垂線上的單位。
7.2 複數及其計算
當 a, b 為實數時，平面上具有座標 (a, b) 的點，很自然地可以表示為：
a 稱為 z 的實部，b 稱為 z 的虛部，並記作
圖1-16
$a = \text{Re}(z)$
$b = \text{Im}(z)$
也就是說，形如 $z = a+bi$ 的數，可以與平面上的點一一對應地表示，或者也可以看作是由向量 $\vec{Oz}$ 來表示。這種形式的數稱為複數。也就是說，相對於實數是由水平線上的點或直線上的有向線段表示，複數則是由平面上的點或平面上的向量來表示。
當平面上的每個點都被視為代表一個複數時，這個平面就以提出此想法的數學家高斯（Gauss, 1777-1855）之名，稱為高斯平面。
複數的加法與減法
要將兩個複數 $z = a+bi$，$z' = a'+b'i$ 相加，
也就是說，分別將實部與實部、虛部與虛部相加即可。
$\text{Re}(z+z') = \text{Re}(z) + \text{Re}(z')$
$\text{Im}(z+z') = \text{Im}(z) + \text{Im}(z')$
從幾何上來看，如圖1-17左所示。也就是說，以 0, $a+bi$, $a'+b'i$ 為三個頂點的平行四邊形的第四個頂點，就對應於 $(a+bi)+(a'+b'i)$。
圖1-17
兩個複數的差是：
因此，只需將 $a'+b'i$ 替換成 $-a'-b'i$，然後相加即可。也就是說，以 0, $a+bi$, $-a'-b'i$ 為三個頂點的平行四邊形的第四個頂點，就對應於 $(a+bi)-(a'+b'i)$。這也可以由從點 $a'+b'i$ 指向點 $a+bi$ 的向量來表示。
$\text{Re}(z-z') = \text{Re}(z) - \text{Re}(z')$
$\text{Im}(z-z') = \text{Im}(z) - \text{Im}(z')$
複數的乘法
接著來考慮複數的乘法。作為準備，我們先導入極座標。
$a+bi$ 與原點 0 之間的距離，稱為複數 $z=a+bi$ 的絕對值，記作 $|z|$。根據畢氏定理：
特別是，當 $z=a$ 是實數時：
若 $a \ge 0$，由於平方根號表示正值，所以結果等於 $a$。若 $a < 0$，可設 $a=-a'$ ($a' > 0$)，則結果等於 $a'$。
這就是除去 $a$ の正負號後的值，也就是它的絕對值。複數的絕對值是實數絕對值的擴展。
此外，向量 $\vec{Oz}$ 與水平線正方向（逆時針方向）的夾角，稱為 $z=a+bi$ 的偏角，記作 $\arg z$。
圖1-18
$a+bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)$
這個右邊的形式稱為 $a+bi$ 的極座標形式。
共軛複數
對於 $z=a+bi$，只改變虛部符號的 $a-bi$，稱為 z 的共軛複數，記作 $\bar{z}$。
由此可知
$z+\bar{z} = 2a$
$z-\bar{z} = 2bi$
從這些式子可得
$a = \frac{z+\bar{z}}{2}$
$b = \frac{z-\bar{z}}{2i}$
因此
$\text{Re}(z) = \frac{z+\bar{z}}{2}, \quad \text{Im}(z) = \frac{z-\bar{z}}{2i}$
在高斯平面上，$z$ 和 $\bar{z}$ 的實部相等，虛部互為反數，所以 $z$ 和 $\bar{z}$ 是關於實軸的線對稱。因此
圖1-24
$|\bar{z}| = |z|$
$\arg\bar{z} = -\arg z$
也就是說，取共軛複數這個操作，就是關於實軸的鏡像反射。
因此，將 $z+z', z-z', zz'$ 等的作圖關於實軸進行鏡像反射，就完全變成了 $\bar{z}+\bar{z'}, \bar{z}-\bar{z'}, \bar{z}\bar{z'}$ 等的作圖。換句話說：
$\overline{z+z'} = \bar{z}+\bar{z'}$
$\overline{z-z'} = \bar{z}-\bar{z'}$
$\overline{zz'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$
複數的除法
接下來，說明除法。$z$ 的倒數 $\frac{1}{z}$ 是與 $z$ 相乘結果為 1 的數。因為 $\frac{z\bar{z}}{z\bar{z}} = 1$，所以
因此，這個 $\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}$ 就是 $z$ 的倒數 $\frac{1}{z}$。因為 $z\bar{z} = |z|^2$，所以這就是 $\frac{\bar{z}}{|z|^2}$。
若 $z=a+bi$，則
因此，若 $z \ne 0$，則 $a^2+b^2 > 0$，所以 $\frac{1}{z}$ 必定存在。
此時
$|\frac{1}{z}| = |\frac{\bar{z}}{|z|^2}| = \frac{|\bar{z}|}{|z|^2} = \frac{|z|}{|z|^2} = \frac{1}{|z|}$
$\arg(\frac{1}{z}) = \arg\bar{z} = -\arg z$
圖1-25
若將 $\div z$ 視為 $\times \frac{1}{z}$，那麼當 $z \ne 0$ 時，$\div z$ 恆可進行。
換句話說，複數的集合對於加減乘除四則運算是封閉的，也就是說它構成了一個體。這稱為複數體。
對於商，其絕對值與偏角為：
$|\frac{z}{z'}| = |z \cdot \frac{1}{z'}| = |z| \cdot |\frac{1}{z'}| = |z| \cdot \frac{1}{|z'|} = \frac{|z|}{|z'|}$
$\arg(\frac{z}{z'}) = \arg(z \cdot \frac{1}{z'}) = \arg z + \arg(\frac{1}{z'}) = \arg z - \arg z'$
需要注意的是，後者的偏角之差，表示了從向量 $\vec{Oz'}$ 到 $\vec{Oz}$ 的旋轉角 $\theta$（圖1-26）。
圖1-26
7.3 複數的運算法則
當我們將數的世界擴展到複數時，其加減乘除之間的各種法則會變成什麼樣呢？
加法的交換法則：加法只需將實部與實部、虛部與虛部分別相加即可。
這裡的 $a, a', b, b'$ 都是實數。對於實數，加法的交換法則已經成立，因此：
加法的結合法則：
$(z+z')+z'' = \{(a+bi)+(a'+b'i)\} + (a''+b''i)$
$= \{(a+a')+(b+b')i\} + (a''+b''i)$
$= \{(a+a')+a''\} + \{(b+b')+b''\}i$
根據實數的加法結合法則：
$= \{a+(a'+a'')\} + \{b+(b'+b'')\}i$
$= (a+bi) + \{(a'+a'')+(b'+b'')i\}$
$= (a+bi) + \{(a'+b'i)+(a''+b''i)\} = z+(z'+z'')$
乘法的交換法則：如前所述，乘法為
根據實數的加法與乘法交換法則：
乘法的結合法則：同樣地
$(zz')z'' = \{(a+bi)(a'+b'i)\}(a''+b''i)$
$= \{(aa'-bb')+(ab'+a'b)i\}(a''+b''i)$
$= \{(aa'-bb')a''-(ab'+a'b)b''\} + \{(aa'-bb')b''+(ab'+a'b)a'' \}i $
$= (aa'a''-bb'a''-ab'b''-a'bb'') + (aa'b''-bb'b''+ab'a''+a'ba'')i$
$= \{a(a'a''-b'b'')-b(b'a''+a'b'') \} + \{a(a'b''+b'a'')+b(a'a''-b'b'') \}i$
$= (a+bi)\{(a'+b'i)(a''+b''i)\} = z(z'z'')$
分配法則：特殊情況的分配法則已作假設，那麼一般情況呢？
$z(z'+z'') = (a+bi)\{(a'+b'i)+(a''+b''i)\}$
$= (a+bi)\{(a'+a'')+(b'+b'')i\}$
$= \{a(a'+a'')-b(b'+b'') \} + \{a(b'+b'')+b(a'+a'') \}i$
$= \{(aa'+aa'')-(bb'+bb'') \} + \{(ab'+ab'')+(ba'+ba'') \}i$
$= \{(aa'-bb')+(ab'+ba')i\} + \{(aa''-bb'')+(ab''+ba'')i\}$
$= (a+bi)(a'+b'i)+(a+bi)(a''+b''i) = zz'+zz''$
如上所述，加法與乘法的交換法則、結合法則以及分配法則都同樣成立。因此，複數的運算法則在形式上與有理數或實數是相同的。
7.4 複數與圖形的性質
因為複數可以表示平面上的點，所以我們可以使用複數來闡明平面圖形的各種性質。
例題3
與實數的情況相同，對於任意兩個複數，恆等式
$|z+z'| \le |z|+|z'|$
成立。
解：在圖1-27的三角形中，兩邊 z, z' 的長度和 |z|, |z'| 的和，不會小於第三邊 z+z' 的長度 $|z+z'|$，因此不等式 $|z+z'| \le |z|+|z'|$ 恆成立。等號成立的時機，僅在於 z 與 z' 的偏角相等（$\arg z = \arg z'$）時。
圖1-27
設 $z=a+bi$, $z'=a'+b'i$，將不等式兩邊平方，因為兩邊都不是負數，所以
$|z+z'|^2 \le |z|^2+|z'|^2+2|z||z'|$
$(a+a')^2+(b+b')^2 \le (a^2+b^2)+(a'^2+b'^2)+2|z||z'|$
$aa'+bb' \le \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a'^2+b'^2}$
可以得知此式成立。由此可知對於任意實數 $a, b, a', b'$，
恆成立。等號成立的條件是 $ \arg z = \arg z' $ 或 $ \arg z = \arg(-z') $，換句話說，就是 0, z, z' 在同一直線上時。
圖1-28
這個不等式（稱為三角不等式） $|z+z'| \le |z|+|z'|$，經過移項與代換，可以得到
綜合起來就是：「三角形的一邊長，介於另兩邊長之和與之差之間」。
例題 4（托勒密定理 Ptolemy's Theorem）
平面上有 A, B, C, D 四點時，下述關係成立：
$$ AD \cdot BC + AB \cdot CD \ge AC \cdot BD $$等號成立的充要條件是四點共圓。
解
將該平面視為高斯平面，並令 \(D=0, A=z_1, B=z_2, C=z_3\)。
對於 \(z_1, z_2, z_3\)，恆等式 \( z_1(z_2-z_3) + z_2(z_3-z_1) + z_3(z_1-z_2) = 0 \) 恆成立。
移項可得： \( z_1(z_2-z_3) + z_3(z_1-z_2) = -z_2(z_3-z_1) \)。
取兩邊的絕對值，並利用三角不等式：
$$ |z_1(z_2-z_3)+z_3(z_1-z_2)| = |-z_2(z_3-z_1)| $$ $$ |z_1(z_2-z_3)|+|z_3(z_1-z_2)| \ge |z_2(z_3-z_1)| $$ $$ |z_1||z_2-z_3| + |z_3||z_1-z_2| \ge |z_2||z_3-z_1| $$代入各線段長度：\(|z_1|=AD, |z_2-z_3|=BC, |z_3|=CD, |z_1-z_2|=AB, |z_2|=BD, |z_3-z_1|=AC\)，即可得：
$$ AD \cdot BC + AB \cdot CD \ge AC \cdot BD $$等號成立的條件是 \(\arg\{z_1(z_2-z_3)\} = \arg\{z_3(z_1-z_2)\}\)。
$$ \arg z_1 + \arg(z_2-z_3) = \arg z_3 + \arg(z_1-z_2) $$ $$ \arg(z_2-z_3) - \arg(z_1-z_2) = \arg z_3 - \arg z_1 $$上式左邊代表向量 \(\vec{BA}\) 到 \(\vec{CB}\) 的夾角，即 \(\angle ABC\) 的外角（\(180^\circ - \angle ABC\)）。右邊代表 \(\angle ADC\)。
因此，\(180^\circ - \angle ABC = \angle ADC\)，即 \(\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ\)。
這表示 \(\angle ADC\) 與 \(\angle ABC\) 互為補角。此為 A, B, C, D 四點共圓的條件。
線段的內分點
將連接複數 \(z, z'\) 的線段以 \(m:n\) 比例內分之點 \(u\) 可由下式求得：
特別地，中點為 \(m=1, n=1\)，此時 \(u = \frac{z+z'}{2}\)。
例題 5
證明三角形的三條中線交於一點。
解
設三頂點為複數 \(a, b, c\)。邊 \(bc\) 的中點 \(d\) 為 \(\frac{b+c}{2}\)。將連接 \(a\) 與 \(d\) 的線段以 2:1 比例內分的點 \(g\) 為：
同樣地，將邊 \(ca\) 的中點與 \(b\) 連接的線段，以及將邊 \(ab\) 的中點與 \(c\) 連接的線段，以 2:1 內分的點，都會得到相同的點 \(g\)。
因此，由 \(a,b,c\) 引出的三條中線交於一點 \(g\)。此點 \(g\) 稱為三角形的重心。
例題 6
證明三角形三頂點對應邊的垂線交於一點。
解
設該三角形的外接圓半徑為 \(r\)，圓心為原點 0。設三頂點為複數 \(a,b,c\)，則 \(|a|=|b|=|c|=r\)。
令 \(h=a+b+c\)。我們來求 \(a-b\) 與 \(h-c = a+b\) 所夾的角 \(\arg\frac{a-b}{a+b}\)。
考慮 \(\frac{a-b}{a+b}\) 的共軛複數。因為 \(|a|=r\)，所以 \(a\bar{a}=r^2\)，即 \(\bar{a}=r^2/a\)。同理 \(\bar{b}=r^2/b\)。
一個複數 \(z\) 若滿足 \(\bar{z}=-z\)，則此數必為純虛數（或0）。這表示其偏角為 \(\pm 90^\circ\)。
因此，向量 \(a-b\)（從 B 指向 A）與向量 \(h-c\)（從 C 指向 h）相互垂直。
同樣地，\(b-c\) 與 \(h-a\) 垂直，\(c-a\) 與 \(h-b\) 也垂直。
這表示，點 \(h\) 是三角形從各頂點向對邊所作垂線的交點。此點稱為三角形的垂心。
歐拉線
此外，外接圓的中心 0 是外心，由例題 5 可知 \(\frac{a+b+c}{3}\) 是重心，而由例題 6 可知 \(a+b+c\) 是垂心。
因此，「三角形的外心、重心、垂心，依此順序在一條直線上，且重心將外心與垂心所連的線段以 1:2 的比例內分。」
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