代數入門
第1章 數的演化
6. 有理數與無理數
6.1 有理數
如前所述，非負整數（0與自然數）是為了表示物體的個數而創造的。羊的數量或石頭的數量都是分散獨立的，因此可以透過數數，也就是透過將1逐次相加得到的自然數來表示。然而，水的體積（液量）或棒子的長度就不能這樣處理了，必須決定一個單位來進行測量。
例如，以1公尺為單位來測量某根棒子的長度，就是每隔1公尺做個記號，並計算其個數。但很少能剛好是整數，通常都會有剩餘的部分。若要連這個剩餘的部分x也測量出來，就勢必需要將單位進行分割。
從其中一種分割方式中，產生了所謂的「分數」。
也就是說，如果我們找到一個能同時量盡剩餘部分x與單位長度的共通小單位u，假設a個u等於單位長度，b個u等於剩餘部分的長度，那麼：
$1 \text{ m} = au$
$x = bu$
因此可以表示為：
$u = \frac{1}{a} \text{ m}$
$x = \frac{b}{a} \text{ m}$
這樣一來，剩餘的部分就用分數 $\frac{b}{a}$ 來表示了。
u 就像是單位與剩餘部分x的公約數一樣，要找到它的一個方法，就是利用前面提到的整數的輾轉相除法。也就是說，用單位1公尺去測量棒長，假設量了2次後剩下x，接著就用這個剩餘的x去測量單位長度。如果量了2次後又剩下y，那就再用這個新的剩餘y去測量前一個剩餘x。
圖1-7
如果在那里量了2次後正好量盡，那麼
$1 \text{ m} = 5y$
$x = 2y$
因此
$y = \frac{1}{5} \text{ m}$
$x = \frac{2}{5} \text{ m}$
如此誕生的就是分數。
正負分數統稱為有理數。整數（作為可以量盡的情況）也包含在有理數中。
整數對於加法、減法、乘法是封閉的，但正如 $2 \div 3$ 不會是整數所顯示的，它對於除法並不是封閉的。
從某種意義上說，也可以認為分數是為了使數系對除法也封閉而創造出來的。
有理數對於加法、減法、乘法、除法這四種運算——也就是四則運算——是（除了除以0之外）封閉的。
有理數 ± 有理數 = 有理數
有理數 × 有理數 = 有理數
有理數 ÷ 有理數 = 有理數
像這樣對四則運算封閉的數的集合，稱為數體或體。由有理數構成的體稱為有理數體。
「有理數」這個詞需要稍微解釋一下。這個詞是 rational number 的直譯，但這是因為像 $\frac{2}{3}$ 這樣的數可以表示為兩個整數的比 2:3，所以從比（ratio）這個詞衍生出 rational 這個詞。rational 一般的意思是「合理的」或「理性的」，但考慮到這個數的意義，或許譯為「整比數」會更貼切。
有理數原本是為了表示帶有剩餘部分的連續量而想出的數，因此若將其標示在直線上，就不會像整數那樣以1為間隔孤立存在。以下我們來看看有理數在直線上是如何分佈的。
分母為2的分數，以 $\frac{1}{2}$ 的間隔排列。
分母為3的分數，以 $\frac{1}{3}$ 的間隔排列。
分母為100的分數，以 $\frac{1}{100}$ 的間隔排列。
分母為1000的分數，以 $\frac{1}{1000}$ 的間隔排列。
因此，在直線上任意取一個長度小於 $\frac{1}{1000}$ 的區間，分母為1000的分數必定會落入該區間內。所以，無論取多短的區間，其內都一定會有理數存在。我們將這種情況稱為，有理數在直線上處處稠密地分佈著。
圖1-8
換句話說，在直線上無論選取哪一個點，其附近都必定存在有理數。
例如，即使是圓周率 $\pi$，在它無論多麼近的地方，都存在著像 $3.1 = \frac{31}{10}$、$3.14 = \frac{314}{100}$ 等有理數。
這個事實可以如下表述：
「直線上的任何點，都可以用有理數進行任意精度的近似。」
6.2 無理數
如前所述，有理數在直線上處處稠密地分佈著。換句話說，直線上的點可以用有理數進行任意精度的近似。如果因此認為直線上的所有點都應該是有理數，那可就大錯特錯了。
也就是說，直線上存在著無法用有理數表示的點。
最初發現這一點的是古代的希臘人。他們注意到有理數之間存在著間隙，而填補這些間隙的數，就是被稱為無理數的數。
而且，它就存在於非常近的地方。
當有一個邊長為1的正方形時，其對角線的長度就是一個無理數。若設此長度為 $r$，根據畢氏定理：
也就是說，$r$ 必須是一個平方後等於2的數。這個 $r$ 並不是有理數。
要證明這一點，只需證明如果假設這個 $r$ 是有理數，也就是 $\frac{\text{整數}}{\text{整數}}$，會產生矛盾即可。這就是前面用過的反證法。
現在，假設
其中 a, b 為正整數。並且，我們假設分數 $\frac{b}{a}$ 已經化為最簡分數，也就是說，a 和 b 除了 1 以外沒有其他公約數。將此代入 $r^2 = 2$ 中：
$(\frac{b}{a})^2 = 2$
$\frac{b^2}{a^2} = 2$
$b^2 = 2a^2$
根據這個式子，$b^2$ 必須是偶數，因此 b 也必須是偶數。為什麼呢？因為奇數 $2n+1$ 的平方是：
結果也必定是奇數。（這裡也用到了反證法。）
於是，設 $b = 2c$（c為整數），則：
$(2c)^2 = 2a^2$
$4c^2 = 2a^2$
$2c^2 = a^2$
從這個式子來看，$a^2$ 也必須是偶數，因此 a 也必須是偶數。這麼一來，a 和 b 就有了 2 這個公約數，這與我們最初「a 和 b 除了 1 之外沒有其他公約數」的假設相矛盾。
之所以會產生這樣的矛盾，是因為我們假設了 $r$ 是有理數。因此，$r$ 不可能是有理數，也就是說它必須是無理數。$r$ 是一個平方後等於2的正數，這樣的數稱為2的（正）平方根，記作 $\sqrt{2}$。
也就是說，我們得出了 $\sqrt{2}$ 是無理數的結論。
這裡，如果考慮 $\sqrt{2} + \text{有理數}$ 這個數，它也不可能是有理數。因為，如果 $\sqrt{2} + \text{有理數} = \text{有理數}$，那麼
由於有理數體對減法是封閉的，右邊應該是有理數。然而我們已經知道 $\sqrt{2}$ 是無理數，這就產生了矛盾。（這裡也用到了反證法。）也就是說 $\sqrt{2} + \text{有理數}$ 是無理數。這麼一來，無理數也同樣在直線上處處稠密地分佈著。
6.3 實數
我們知道了作為有理數間隙的無理數，並非只有一個，而是處處稠密地分佈著。於是，如果我們能填補這些間隙（將無理數加入到至今為止的有理數集合中），那麼直線上的點就都會變成有理數或無理數。
如此將有理數與無理數合併而成的集合，便可以無遺漏地表示直線上所有的點。這就稱為實數。
到了實數的階段，我們便可以與直線上的點建立起一一對應的關係。
實數的完備性
在此，我們先舉出實數的一個重要性質。當 $a < b$ 時，我們用 $[a, b]$ 來表示包含兩端點 $a$ 與 $b$ 的區間（閉區間）。
圖1-9
假設有如下無限個區間的序列：
且每一個區間都包含在它前一個區間之內。用集合論的符號表示為：
此時，必定存在至少一個實數，它被包含在所有的區間之內。一般來說，具有這種性質的集合（如實數集合）被稱為是完備的。如果區間的長度不會縮短到小於某個固定的正數，那麼被所有區間包含的實數應該不是一個，而是無限多個。
然而，當區間的長度無限縮小時，被所有區間包含的實數只會有一個，且僅僅只有一個。
圖1-10
這裡需要注意的是，有理數並不具有這個性質。
例如，如前所證，$\sqrt{2}$ 是無理數，也就是說它不是有理數。
這個 $\sqrt{2}$ 計算出來是
從中我們可以得知以下事實：
$a_1 = 1 < \sqrt{2} < 2 = b_1$
$a_2 = 1.4 < \sqrt{2} < 1.5 = b_2$
$a_3 = 1.41 < \sqrt{2} < 1.42 = b_3$
...
如此一來，$a_1, b_1, a_2, b_2, \dots$ 全部都是有理數，而區間 $[a_1, b_1], [a_2, b_2], \dots$ 也和前面一樣是
的關係，並且其長度無限地縮小，因此最多只能包含一個數。然而，那個唯一的數是 $\sqrt{2}$，而 $\sqrt{2}$ 不是有理數。所以，被所有這些區間包含的有理數一個也不存在。
如果只考慮有理數，那個地方就成了間隙，作為有理數是不存在的。
也就是說，有理數的集合是不完備的，而實數的集合是完備的。
因此，填補有理數的間隙，將對應於這些間隙的無理數添加進來，從而創造出更大的實數集合，這就是將不完備的有理數完備化的過程。可以說，實數的集合是透過有理數集合的完備化而創造出來的。
有理數與無理數哪個比較多？
有理數和無理數在直線上都處處稠密，那麼究竟哪個比較多呢？
這個問題在通常意義下是沒有意義的。因為有理數和無理數都是無限的，當兩者都是無限時，問哪個比較多是無法回答的。
然而，一位名叫康托爾（Cantor, 1845-1918）的數學家，卻勇於回答這個問題。
為此，必須先具體定下判斷兩個集合的個數是相等、較大還是較小的標準。
例如，要比較下面蘋果和橘子這兩個集合的個數：
蘋果集合：🍎🍎🍎
橘子集合：🍊🍊🍊🍊
只要試著建立一對一對應即可。在這個例子中，在蘋果和橘子之間建立一對一對應後，橘子會多出來，因此可以判定橘子的數量比蘋果多。如果雙方不多不少，則是相等；如果蘋果多出來，則判定蘋果的數量比橘子多，這沒有問題。
這裡舉的蘋果集合和橘子集合都是有限集合，但康托爾大膽地將這種一對一對應的方法，擴展並應用到了無限集合上。
他對數學中出現的各種無限集合進行了比較。
首先出現的無限集合是自然數的集合 $N$。
他將各種集合與 $N$ 進行比較。例如，他比較了正有理數的全體集合與 $N$，結果出人意料地發現它們的數量是相同的。也就是說，兩者可以建立無遺漏的一對一對應。
為此，他將分數如下圖1-11般排列。
圖1-11
如此排列後，巧妙地逐一訪問這些點。所謂「巧妙地」，就是如圖1-11所示，以Z字形路徑訪問。出發點是 $\frac{1}{1}$，接著是 $\frac{1}{2} \to \frac{2}{1} \to \frac{3}{1} \to \frac{2}{2} \to \dots$。像 $\frac{2}{2}$ 這樣的數，實質上與 $\frac{1}{1}$ 相同，所以視為已訪問過而跳過。
在這裡，將第 n 個訪問到的分數與自然數 n 進行對應，就可以發現自然數集合 $N$ 與正有理數集合可以建立一對一對應。也就是說，這兩個集合的元素個數——今後我們稱之為濃度（cardinality）——是相等的。一般來說，能與 $N$ 建立一對一對應的集合稱為可數的或可枚舉的。
稱其為可枚舉的，是因為可以為它們附上 1, 2, 3, ... 這樣的編號。
將自然數與有理數標示在直線上，自然數是以1為間隔「稀疏地」分佈，而有理數則是處處稠密地存在，因此很多人可能會認為有理數的數量毫無疑問地比自然數多。
然而，這個預測被漂亮地推翻了，兩者的數量是相等的。
讓我們將這個想法推廣，比較 $N$ 與實數的全體集合。這兩者的數量也相等嗎？然而，答案是否定的。也就是說，無論設計出多麼巧妙的對應方式，實數一方都會有剩餘。也就是說，實數比有理數「更多」。
首次證明這一點的，也還是康托爾。他使用了反證法。
證明：
首先，假設所有的實數，也就是直線上的所有點，都能與自然數建立一對一對應。我們將與 n 對應的實數記作 $a_n$。
$a_1 \leftrightarrow 1$
$a_2 \leftrightarrow 2$
$a_3 \leftrightarrow 3$
...
$a_n \leftrightarrow n$
基於這個對應，我們來建立一個區間序列。
首先選取 $a_1, a_2$，假設 $ a_1 < a_2 $（若 $ a_1 > a_2 $ 則交換1, 2）。我們建立區間 $[a_1, a_2]$，並在 $[a_1, a_2]$ 中，除了 $a_1, a_2$ 以外，找出編號最小的實數 $a_n$，設其為 $a_{n_3}$。顯然 $ 2 < n_3 $。然後建立區間 $[a_{n_3}, a_2]$。
圖1-12
接著，在 $[a_{n_3}, a_2]$ 的內部（不含端點）找出編號最小的實數 $a_n$，設其為 $a_{n_4}$，並建立區間 $[a_{n_3}, a_{n_4}]$。此時 $ n_3 < n_4 $。
無限重複這個過程，就會得到一個區間序列，每個區間都包含在前一個區間內，且編號 $n_k$ 會越來越大。
圖1-13
根據實數的完備性，必定存在至少一個實數被包含在所有區間內，我們稱之為 $a_m$。
然而，$a_m$ 既然被包含在區間 $[a_1, a_2]$ 的內部，其編號 m 必定大於等於 $n_3$。因為 $a_{n_3}$ 是被包含在 $[a_1, a_2]$ 內部中編號最小的那個。即 $ n_3 \le m $。
接著，$a_m$ 也被包含在 $[a_{n_3}, a_2]$ 的內部，而 $a_{n_4}$ 是其中編號最小的，所以 $ n_4 \le m $。
完全同樣地推論下去，可得 $ n_5 \le m, n_6 \le m, \dots $
$n_3, n_4, n_5, \dots$ 是可以無限增大的自然數，而自然數 m 卻要比它們每一個都大。這樣一個自然數 m 是不可能存在的。這顯然是一個矛盾。這個矛盾的產生，源於我們最初假設實數集合能與自然數集合建立一對一對應。(證明完)
因此，這個假設必須是錯誤的。
定理6： 實數與自然數無論如何都無法建立一對一對應。實數一方會有剩餘。
而且，實數中確實包含著像 $\{a_1, a_2, a_3, \dots\}$ 這樣能與自然數一對一對應的部分集合，因此我們可以說實數比自然數「更多」。「更多」是在上述意義下成立的。
康托爾在1873年首次證明了這一點，同樣是無限，卻有各種不同的層級，這給當時的數學界帶來了強烈的衝擊。
從以上結論，我們可以知道無理數比有理數多。
為什麼呢？因為如果假設無理數的數量與有理數相同，那麼有理數和無理數就都是可數的，從而可以與自然數建立一對一對應。
有理數集合 = $\{a_1, a_2, a_3, \dots\}$
無理數集合 = $\{b_1, b_2, b_3, \dots\}$
這麼一來，兩者合併的實數集合也可以
實數集合 = $\{a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3, \dots\}$
這樣排成一列並加上編號，也就是說實數集合也變成可數的了，這與前面康托爾的定理相矛盾。因此，比較有理數與無理數的數量，無理數一方比較多。
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