代數入門
第1章 數的演化
第4節 整數
自然數的全體集合 $\{1, 2, 3, 4, \dots\}$ 若以 $N$ 表示，則 $N$ 當然擁有無限個元素，是一個無限集合。如前所述：
自然數 + 自然數 = 自然數
自然數 × 自然數 = 自然數
這表示加法與乘法可以自由地進行，也就是說，我們在進行 + 和 × 的計算時，不必擔心答案會超出自然數的範圍。在這種情況下，我們說自然數的集合 $N$ 對於加法和乘法是「封閉的」。
然而，對於加法的反運算——減法，它就不是封閉的。例如，$2-3$ 的結果就不會是自然數。小學一年級的學生大概會回答「不能減」。
但是，這樣下去很不方便。於是，我們決定創造出至今為止沒有的新數，那就是 0 和負數。
在標示了自然數的數線（參見 p. 16）上，我們從 1 向左方無限延伸（圖1-3）。
圖1-3
如此創造出來的數就是負數和 0。相對於此，我們將傳統的數稱為正數。為了強調傳統的數與新數的區別，經常會加上 + 號，寫成 $+1, +2, +3, \dots$。將 $\{\dots, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, \dots\}$ 統稱為整數。整數的集合不僅對加法、乘法是封閉的，對減法也是封閉的。
談到負數在歷史上是何時出現的，最古老的紀錄是在中國的《九章算術》（收錄於《續世界の名著 第1巻「中國の科学」》中央公論社）中，而在西方，則似乎要晚得多，直到12、13世紀才出現。
最初想出負數的，大概是商人吧。商人因職業關係，必須頻繁地進行買賣、借貸，如果將財產視為正，那麼借款就是負了。
因此，要初步理解正負數，從財產與借款著手是最好的方式。
首先來思考正負數的加法。
例如 $(+5) + (-3)$ 這個問題，如果想成是「有5（萬圓）的財產，同時又有3（萬圓）的借款，結算後會如何？」，結果就很明顯了。會剩下2（萬圓）的財產，因此：
$(+5) + (-3) = +2$
這樣想就可以了。
不過，要更淺顯易懂地思考，可以利用撲克牌。例如，我們將撲克牌的黑牌視為正（財產），其點數就代表該數額的財產權利書。同樣地，將紅牌視為負（借款），代表該數額的借款證明書。（紅黑顛倒也無妨，這裡只是從「黒字・赤字」（盈餘・虧損）的類推來設定）。
如此一來，首先很明顯，財產與財產、借款與借款相加，只需直接將面額相加即可。
因此，要將兩個同符號的數相加，只要將數字部分相加，然後附上它們共通的符號即可。
而將財產與借款加在一起，則會互相抵銷（相殺），剩下的是面額的差額，並附上那個面額較大一方的符號。
因此，要將兩個不同符號的數相加，只要取數字的差，然後附上數字較大一方的符號即可。
在正負數中，除去符號後的數字部分稱為絕對值。以財產權利書或借款證明書來說，上面記載的金額就是絕對值。
絕對值相同但符號不同的兩個數，互稱為反數。反數這個詞在明治時代曾被使用，但現在已不常用。不過這個名稱有助於加深理解，所以本書將會繼續使用。
例如，+2, -4, +5, -10 的反數分別是 -2, +4, -5, +10。很顯然，將面額相同的財產與借款加在一起，會互相抵銷，什麼都不剩下。
也就是說，將某個數與其反數相加，答案是 0。
$(+1) + (-1) = 0$
$(-2) + (+2) = 0$
$(+3) + (-3) = 0$
關於反數，顯然成立以下事實：
某個數的反數的反數，就是原來的數。
將它們排列在數線上，反數是相對於 0 的對稱位置。因此，若以 0 為中心將數線旋轉 $180^{\circ}$，反數之間就會互換位置。當然，0 的反數是 0。
圖1-4
接著來看減法。減法比加法要稍微困難一些。
同樣使用撲克牌來思考，
這兩種情況很容易理解。也就是說，對於同符號的數，如果被減數的絕對值較大，那麼就取絕對值的差，並附上該符號即可。
問題在於其他情況。例如，讓我們思考 $(+5) - (-3)$。
我們要從 $(+5)$ 中減去 $(-3)$，但在 $(+5)$ 中並不包含 $(-3)$ 的牌，所以就這樣是沒辦法減的。於是，要想辦法讓 $(-3)$ 的牌出現。利用前面提到的「反數相加等於0」的原理：
$(+3) + (-3) = 0$
因此，將 $(+5)$ 看作是 $(+5) + 0 = (+5) + (+3) + (-3)$ 也是一樣的。從這裡拿走 $(-3)$ 的牌後，就剩下 $(+5) + (+3)$，結果就變成了加上 $(+3)$ 的牌，答案是 $(+8)$。
1. 從 $(+5)$ 開始：
2. 為了減去 $(-3)$，加入一對「0」： $(+3)+(-3)$：
3. 拿走 $(-3)$：
4. 結果剩下：
這可以想成是，原本和 $(-3)$ 的牌一起被抵銷掉的 $(+3)$ 的牌，因為拿走了 $(-3)$ 而「復活」了。也就是說：
$(+5) - (-3) = (+5) + (+3) = +8$
同樣地，在拿走 $(+3)$ 的牌時，$(-3)$ 的牌會復活，所以可以想成：
$(+5) - (+3) = (+5) + (-3) = +2$
也就是說，減去一個負數，結果就等於加上它的反數——正數。
一般來說，要減去一個數，只要加上它的反數即可。
$\dots - (+3) = \dots + (-3)$
$\dots - (-3) = \dots + (+3)$
接下來思考乘法。同樣地，我們用撲克牌來思考。
將 $+3$ 想成是 $(+3)$ 的牌，「得到2張」這件事就用 $\times(+2)$ 來表示。這麼一來，$(+3) \times (+2)$ 就代表得到2張 $(+3)$ 的牌，結果是：
$(+3) \times (+2) = +6$
而 $(-3) \times (+2)$ 是得到2張 $(-3)$ 的牌，所以：
$(-3) \times (+2) = -6$
另外，如果將 $\times(-2)$ 當作是「失去2張」，那麼 $(+3) \times (-2)$ 就代表失去2張 $+3$ 的牌，結果是：
$(+3) \times (-2) = -6$
而 $(-3) \times (-2)$ 是失去2張 $(-3)$ 的牌，也就是免除了借款，反而得到了6的好處，所以：
$(-3) \times (-2) = +6$
一般來說：
正 × 正 = 正
負 × 正 = 負
正 × 負 = 負
負 × 負 = 正
從這個式子來看，可以發現乘以一個正數時，被乘數的符號不變；但乘以一個負數時，被乘數的符號會改變。
因此，當許多正數或負數相乘時，如果負數的個數是偶數，答案就是正數；如果負數的個數是奇數，答案就是負數。
$(+3) \times (-2) \times (+2) \times (-1) = +12$
$(-5) \times (+2) \times (-2) \times (-2) = -40$
對自然數成立的加法與乘法的交換、結合、分配等法則，對整數是否也成立呢？關於這一點，可以確認它們同樣成立。這也可以透過財產與借款的意義來加以說明。
新加入的數 0，對於任意數 $a$ 都有：
$a + 0 = 0 + a = a$
$a \times 0 = 0 \times a = 0$
成立。
像這樣，整數對於加法、減法、乘法是封閉的。
整數 + 整數 = 整數
整數 - 整數 = 整數
整數 × 整數 = 整數
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