代數入門 - 第1章第3節：自然數

代數入門

第1章 數的演化

第3節 自然數

透過將 1 逐次相加而成的數，稱為自然數。

$1 = 1$

$1 + 1 = 2$

$1 + 1 + 1 = 3$

也就是說，像 $1, 2, 3, \dots$ 這樣的數都屬於自然數。

「自然數」這個名稱，大概是源於它是在沒有經過各種人為加工的情況下，非常「自然地」產生出來的數。

在自然數所具有的性質中，列舉幾個重要的，首先是它具有順序性。

(1) 任意兩個自然數 $a, b$ 之間，必定滿足以下三種關係中的其中一種：

$a < b$

$a > b$

$a = b$

也就是說，自然數可以按照大小順序，呈一直線排列。圖示的話，就像是在一條直線上，以 1 為間隔，由左至右排列（圖1-2）。

圖1-2

第二個性質是：

(2) 任意兩個自然數相加，其結果也必定是自然數。

自然數 + 自然數 = 自然數

並且，其加法滿足以下法則：

$a + b = b + a$ （加法交換律）
$(a + b) + c = a + (b + c)$ （加法結合律）

像這樣使用文字寫成一般性的式子，彷彿在陳述什麼特別的事情，但這其實是我們在日常生活中每天都在使用的道理。

例如，在某家店先買了1000元的商品，之後再買2000元的商品，計算方式是 $1000 + 2000$；如果購物順序相反，則是 $2000 + 1000$，但購物的總金額結果畢竟是相同的，所以答案會一樣。這件事用文字表示就是：

$a + b = b + a$

也就是說，即使交換加法中相加的順序，答案也不會改變，這就是加法交換律。

又例如，在計算 $7+8$ 時，我們先將 8 分解成 $3+5$：

$7 + 8 = 7 + (3+5)$
$= (7+3) + 5 = 10 + 5 = 15$

此時，我們也是利用了 $a + (b+c)$ 與 $(a+b)+c$ 相等的加法結合律。

乘法也和加法非常相似。

(3) 任意兩個自然數相乘，其結果也必定是自然數。

自然數 × 自然數 = 自然數

乘法也和加法一樣，滿足交換律與結合律。

例如，教室裡有6排桌子，每排7張，桌子的總數可以想成 $6 \times 7$，也可以想成 $7 \times 6$，所以答案當然是相同的。將其一般化，可以寫成：

$a \times b = b \times a$

這就是乘法交換律。

又例如，當有3行6列排列的50元郵票時，要計算總金額，可以先算出一列的金額是 $50 \times 3 = 150$ 元，因為有6列，所以總金額是 $(50 \times 3) \times 6 = 150 \times 6 = 900$ 元。也可以先算出郵票的總張數 $3 \times 6 = 18$ 張，因為每張50元，所以總金額是 $50 \times 18 = 900$ 元。答案當然是相同的。也就是說：

$(50 \times 3) \times 6 = 50 \times (3 \times 6)$

使用文字將其一般化，就成了：

$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$

這就是乘法結合律。

像這樣比較加法和乘法，會發現兩者在形式上都滿足相同的交換律和結合律。

此外，還有一個橫跨加法與乘法雙方的法則成立，那就是分配律。

如果第一天買了5支每支60元的鉛筆，第二天買了7支，總金額是：

$60 \times 5 + 60 \times 7 = 300 + 420 = 720$ (元)

但是，如果一次買齊，鉛筆總數是 $5 + 7 = 12$ 支，所以總金額是：

$60 \times (5 + 7) = 60 \times 12 = 720$ (元)

雖然計算的途徑不同，但答案應該是相同的。用式子寫出來就是：

$a \times b + a \times c = a \times (b + c)$

這就是分配律。

試著在表示分配律的公式中，將 + 和 × 的符號互換，左邊和右邊會分別變成：

$(a+b) \times (a+c)$ 和 $a + (b \times c)$

但對於數字而言，這兩者相等的法則是不成立的。

最後，將對自然數的加法和乘法成立的法則總結如下：

	加法	乘法
交換律	$a+b=b+a$	$a \times b = b \times a$
結合律	$(a+b)+c = a+(b+c)$	$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
分配律	$a \times (b+c) = a \times b + a \times c$

這些法則都是不證自明的真理，也是接下來所有討論的重要的出發點。