代數入門 - 第1章第2節：數詞

代數入門

第1章 數的演化

第2節 數詞

人類的祖先是從何時開始像今天這樣使用「あ」「い」「う」「え」「お」等有音節的詞語，已不得而知。但與廣義的語言相比，數詞的出現似乎要晚得多。這一點，從現今仍有民族最多只擁有相當於 2 的數詞，便可推知一二。

數詞的登場似乎相當晚，即便如此，在西元前兩千年的古埃及，就已經使用了像「百萬」這樣的大數詞。想必光是管理、統籌建造那巨大金字塔所需的勞動力，以及計算石塊數量，就需要用到這麼大的數詞。同一時期的巴比倫尼亞和印度，也同樣產生了同等程度的數學。

為數字命名就是數詞，而命名的方​​式也經過了各式各樣的巧思。

據說，某個民族從手指開始計數，不夠用時，就用身體的各個部位，例如腳趾、眼睛、鼻子來命名，數量可達數百。在這樣的數詞系統中，指著身體的某個部位，可能就代表著一個數字。

埃及數字

|1

||2

|||3

||||4

|||||5

||||||6

|||||||7

||||||||8

|||||||||9

∩10

⚱100

⚘1000

巴比倫尼亞數字

▼1

▼▼2

▼▼▼3

...4-9

◀10

▼60

◀▼100

◀◀...600

◀◀◀...1000

這種方法，似乎是許多民族在創造數詞時都曾嘗試過的方式。然而，與其無止盡地用身體各部位來代替數字，人們不久後便意識到將一定數量的東西視為「一捆」來計數的方法。有些部落以單手的指頭，也就是5；有些以雙手的指頭，也就是10；還有一些則以雙手雙腳的指頭數，即20，作為「一捆」。就這樣，五進位法、十進位法、二十進位法等應運而生。

如今，主流是十進位法，但也有例外，例如角度和時間就採用六十進位法，這是古巴比倫尼亞的遺產。至於古巴比倫尼亞為何使用六十進位法，其起源眾說紛紜，尚無定論。有一說認為，是使用十進位法的國家與使用十二進位法的國家統一後，取其最小公倍數而產生了六十進位法。中國以天干地支紀年的方式也與此相近。

十進位法確實是現代的主流，但在世界各民族使用的數詞中，仍有不少保留著二十進位法的痕跡。例如，法語中的 quatre-vingts，意思是「4個20」，代表80。

但是，中文以及受其影響的日文是完全的十進位法，在計算和記數上享有極大的便利。

最近，隨著電子計算機的出現，二進位法登場了。相對於十進位法以10為「一捆」，二進位法是以2為「一捆」。在二進位法中，是以 $1, 2, 4, 8, 16, \dots$ 為基礎。

1
||
$2^0$

2
||
$2^1$

4
||
$2^2$

8
||
$2^3$

16
||
$2^4$

...

例如，十進位的 13 是 $8+4+1 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$，因此可以寫成 $1101$。如同十進位法用 $0, 1, \dots, 9$ 這十個數字來表示所有數一樣，二進位法用 $0, 1$ 這兩個數字就能表示所有數。

一般而言，要將十進位的數轉換為二進位，只需不斷地除以2，每次將餘數寫在右邊，最後將結果由下往上（箭頭方向）寫出即可。

2 ) 13  ... 1 ↑
   ----
2 )  6  ... 0 ↑
   ----
2 )  3  ... 1 ↑
   ----
      1 ... 1 ↑
            

二進位法只基於 0 和 1 這兩個數字，因此加法和乘法的計算極為簡單，但相對地，進位和借位會頻繁發生。

十進位與二進位對照

十進位	二進位
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1000

加法

+	0	1
0	0	1
1	1	10

乘法

×	0	1
0	0	0
1	0	1

電子計算機是將十進位的數字先轉換成二進位，用二進位進行計算，然後再將答案轉回十進位。例如，會像下面這樣計算。

十進位
14
+ 19
----
33

二進位
1110
+ 10011
-------
100001

問1：

將下列以十進位表示的數，轉換為二進位表示：
48, 57, 36, 63, 25

問2：

將下列以二進位表示的數，轉換為十進位表示：
101011, 1101, 100001, 1111111, 1001001