代數入門 - 練習問題 1

代數入門

第1章 數的演化

練習問題 1

1.

(1) 給定三點 $a, b, c$，複數 $u = \frac{a-c}{b-c}$ 的絕對值與偏角分別代表什麼幾何意義？

(2) 三點 $a,b,c$ 在同一直線上的條件是什麼？

2.

證明 $\triangle abc$ 與 $\triangle a'b'c'$ 依此順序（正格地）相似的充要條件是：

$\frac{a-c}{b-c} = \frac{a'-c'}{b'-c'}$

或是

$\begin{vmatrix} a & a' & 1 \\ b & b' & 1 \\ c & c' & 1 \end{vmatrix} = 0$

3.

給定四點 $a,b,c,d$，證明它們共圓的充要條件是複數（稱為交比 Cross-ratio） $u=\frac{a-c}{b-c} \div \frac{a-d}{b-d}$ 為實數。

4.

對於複數 $a,b$，證明恆等式 $|a+b|^2+|a-b|^2 = 2(|a|^2+|b|^2)$ 成立，並說明其幾何意義。

5.

對於四個複數 $a,b,c,d$，證明恆等式 $(|a|^2+|b|^2)(|c|^2+|d|^2) = |a\bar{c}+b\bar{d}|^2+|ad-bc|^2$ 成立。並令 $a=x_1+x_2i, b=x_3+x_4i, c=y_1+y_2i, d=y_3+y_4i$，將其改寫為實數間的恆等式。

6.

證明三點 $a,b,c$ 構成正三角形的充要條件是 $a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab=0$。

7.

以連接兩點 $a,b$ 的直線為軸，求點 $c$ 的線對稱點 $c'$ 的表達式。

8.

設 $f(z)$ 為實係數多項式。若複數 $a$ 為方程式 $f(z)=0$ 的根，證明：

(i) $\bar{a}$ 也是 $f(z)=0$ 的根。

(ii) 因此實係數代數方程式的虛根必成對出現（個數為偶數）。

(iii) 特別地，奇數次實係數代數方程式必有至少一個實根。