複利之分期付款：觀念解析與公式推導

本講義依據「宇宙數學教室 2025/01/29」手稿擴充編寫而成，旨在幫助同學深入理解複利分期付款的計算原理。

一、 核心觀念複習

在開始探討分期付款之前，我們必須先牢記最重要的基礎：複利本利和公式。

若你存入 \(P\) 元的本金，年利率為 \(r\)，經過 \(n\) 期後，連本帶利的總金額（本利和）\(S\) 為： \(S = P \times (1+r)^n\)

這個公式是我們接下來所有推導的基石。無論是借款的增長，還是還款的累積價值，都遵循這個原則。

二、 範例解析：分期付款的計算

讓我們跟著手稿的範例，一步步拆解問題。

【問題情境】

假設某甲於1月1日在商店購買了一件價格為 \(a\) 元的商品，他與店家約定分 3 期 付款，每期的利率為 2%。從下個月起，即2月1日開始，每月1日都償還一筆固定金額 \(x\) 元。請問 \(x\) 是多少？

【條件整理】

• 商品價格 (借款本金)：\(a\) 元
• 分期期數：3 期
• 每期利率：2% (即 0.02)
• 每期固定還款：\(x\) 元 (這是我們要解的未知數)

三、 推導方法 (一)：追蹤欠款法

這個方法最直觀，就是模擬銀行的角度，一期一期地計算「欠款」在計息和還款後的變化。

時間點	事件	欠款變化過程
1月1日	購買商品	欠款為 \(a\)
1月30日	第一次計息	欠款增加為： \(a \times (1+2\%)\)
2月1日	第一次還款	剩餘欠款為： \(a(1+2\%) - x\)
2月28日	第二次計息	欠款增加為： \([a(1+2\%) - x] \times (1+2\%) = a(1+2\%)^2 - x(1+2\%)\)
3月1日	第二次還款	剩餘欠款為： \(a(1+2\%)^2 - x(1+2\%) - x\)
3月30日	第三次計息	欠款增加為： \([a(1+2\%)^2 - x(1+2\%) - x] \times (1+2\%) = a(1+2\%)^3 - x(1+2\%)^2 - x(1+2\%)\)
4月1日	第三次還款	還完 \(x\) 元後，欠款結清為 0。 方程式： \(a(1+2\%)^3 - x(1+2\%)^2 - x(1+2\%) - x = 0\)

將方程式整理一下，將 \(x\) 的項目全部移到等號右邊，就得到手稿中的關鍵等式：

\[ a(1+2\%)^3 = x(1+2\%)^2 + x(1+2\%)^1 + x \]

四、 推導方法 (二)：未來價值平衡法

手稿的後半部提供了一個更宏觀、更漂亮的思考方式。我們可以想像有兩個獨立的帳戶在同時進行：一個是「借款帳戶」，另一個是「還款帳戶」。當我們在最後一期還款結束的那一刻，這兩個帳戶的「未來價值」必須相等，才代表款項已完全結清。

1. 借款帳戶的未來價值 (Future Value of Loan)

你一開始借了 \(a\) 元，這筆錢在你手中經過了整整 3 期。因此，在第 3 期期末（即 4月1日），這筆借款的「本利和」總價值為：

\[ \text{借款未來價值} = a(1+2\%)^3 \]

2. 還款帳戶的未來價值 (Future Value of Payments)

你總共還了 3 次 \(x\) 元，但因為還款時間點不同，它們各自累積的價值也不同：

• 第一次還的 \(x\) (2月1日)：到 4月1日 為止，共計息了 2 期。它的未來價值是 \(x(1+2\%)^2\)。
• 第二次還的 \(x\) (3月1日)：到 4月1日 為止，共計息了 1 期。它的未來價值是 \(x(1+2\%)^1\)。
• 第三次還的 \(x\) (4月1日)：在最後一刻才還，沒有時間計息。它的價值就是 \(x\)。

將這三次還款的未來價值全部加總，得到：

\[ \text{還款未來價值總和} = x(1+2\%)^2 + x(1+2\%)^1 + x \]

3. 讓價值相等！

當「借款未來價值」等於「還款未來價值總和」時，就代表結清了！這個方法的核心思想是：將所有發生在不同時間點的金流，全部換算到「同一個時間點」上來比較價值。

\[ a(1+2\%)^3 = x(1+2\%)^2 + x(1+2\%)^1 + x \]

五、 通用公式推導

現在，我們將這個概念推廣到更一般的情況。對於商品價格 \(a\)、分期期數 \(n\)、每期利率 \(r\) 的情況，根據「未來價值平衡法」：

\[ a(1+r)^n = x(1+r)^{n-1} + x(1+r)^{n-2} + \dots + x(1+r)^1 + x \]

等號右邊是一個**等比級數**，套用級數和公式 \(S_n = \frac{a_1(\text{公比}^n - 1)}{\text{公比} - 1}\) 可得：

\[ a(1+r)^n = \frac{x \cdot [(1+r)^n - 1]}{(1+r) - 1} = \frac{x[(1+r)^n - 1]}{r} \]

最後，整理方程式，解出我們想要的每期還款金額 \(x\)：

\[ x = a(1+r)^n \cdot \frac{r}{(1+r)^n - 1} \]

這就是分期付款的通用計算公式。下次遇到類似問題，除了可以直接套用公式外，也試著自己從「未來價值平衡」的觀念推導一次，你會更有感覺！